Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла

1. Вычисление площадей плоских фигур

с помощью
определённого
интеграла

2.

Формула Ньютона - Лейбница.
Вычисляют определённый интеграл
b
f x dx
a
по формуле Ньютона - Лейбница:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
где F x - первообразная для функцииf x

3.

Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная линиями: x=a, x=b, y=0, y=y(x).
y
y=y(x)
0
x=a
x=b
x

4.

Вычисление площадей плоских фигур:
1)
y(x)>0
y
y=y(x)
x
b
a
b
S y ( x)dx
a

5.

Вычисление площадей плоских фигур:
2)
y
a
b
x
y(x)<0
y=y(x)
b
S y ( x)dx
a

6.

Вычисление площадей плоских фигур:
3)
y
y=y(x)
на [а;b] y(x)<0
a
b
x
c
b
с
a
b
на [b;c] y(x)>0
S y ( x)dx y ( x)dx
где b находят из уравнения y(x)=0

7.

Вычисление площадей плоских фигур:
4)
y
y=y(x)
y=g(x)
c
a
b
c
b
a
с
x
S y ( x)dx g ( x)dx
где c находят из уравнения y(x)=g(x)

8.

Вычисление площадей плоских фигур:
5)
y
y=f(x)
y=g(x)
a
S
b
b
f ( x) g ( x) dx
a
, где а и b находят из уравнения :
x
f ( x) g ( x)

9.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y 3 x , x 16, y 0,
x 25.
X
y 3 x,
0
16
25
Y

10.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
6
y ,
x
y 7 x
X
7
0
7
Y

11.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x 2 4,
y 0
X
y x2
4
y x2 4
Y
y x
2

12.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y
1 2
x 1,
3
y 0,
x 1,
x 5
1
3
yy xx22 1
X
1
Y
X=1
X=5

13.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
2
y x 4,
3
x 0,
x 4,
y 0
X
4
.
2
y x 4
3
.
0
4
.
6
Y

14.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y
1 3
x , x 1, x 2,
3
X
.
-1
y 0
13 3
y xx
3
2
.
Y

15.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y 4x 3 ,
y 0, x 1, x 2
X
.
-1
3 3
y x4x
2
.
Y

16.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
4
y ,
x
y 0,
x 1,
x e
X
y
0
.
1
4
x
е
.
Y

17.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
3
y , x 1, x e 2 ,
x
y 0
X
0
.
1
.е
2
y
Y
3
x

18.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x 2 10 x 15,
y 0
X
y x 2 10 x 15
Y

19.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x 2 5x 4,
y 0
X
y x 2 5x 4
.
1
.
4
Y

20.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x 2 6 x,
y 0
X
y x2 6x
0
Y

21.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№13
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y 9 x2 ,
y 0
X
9
y x2
y x2 4
Y
y x
2

22.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№14
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x 2 x 6, y 0
Y
-2
3
-6
X

23.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y 3x 2 x 2,
y 0
Y
2
3
2
1
X

24.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x3 ,
y 4x
Y
X

25.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№17
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y x2
y x
Y
y x2
y x
X

26.

Задачи на вычисление площадей плоских фигур:
№18
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y 2 x2 y3 x2
Y
X

27.

2
y x 4,
3
3.
y
1 3
x ,
3
x 0,
x 1,
x 4,
x 2,
y 0
y 0
11.
y x 2 x 6,
4.
y 4x 3 ,
y 0, x 1, x 2
12.
y 3x 2 x 2,
5.
y
4
,
x
y 0,
x 1,
x e
6.
3
y , x 1, x e 2 ,
x
y 0
y 0
13.
y x3 ,
y 4x
14.
y 0
y x2
7.
y x
,
y x 10 x 15,
2
y 0
15.
8.
y x 2 5 x 4,
y 0
9.
y x 2 6 x,
y 0
10.
y 9 x2 ,
y 0
и
y 2 x2 y3 x2