Первообразная

1. Первообразная

2.

Определение производной функции?
Производной функции в данной точке называется
предел отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда приращение аргумента ,
стремиться к нулю.

3.

Устная работа
1
сosх
sinх+12

4.

Устная работа

5.

Используя определение производной функции,
решают ряд задач в алгебре, физике, химии.
Рассмотрим физический смысл производной.
материальная
точка
s(t) закон
движения

6.

Задача:
Точка движется прямолинейно по закону
s(t) = t3+ 2t ( где s(t) – измеряется в м).
Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
v(t) = 3t2 + 2
v(2) =
Ответ: 14 м/с.

7.

Что мы сделали за часть урока?
Повторили определение производной функции и
формулы дифференцирования.
Решили задачу на применение производной:
зная закон движения, нашли скорость при
заданном времени.
В математике часто приходиться решать
обратную задачу:
зная скорость найти закон движения.

8.

Задача: По прямой движется материальная точка,
скорость которой в момент времени t задается
формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения.
Решение: Пусть s(t) – закон движения
надо найти функцию,
производная которой
равна 3t2 .
Эта задача решена верно, но не полно.
Эта задача имеет бесконечное множество решений.
3t2
3t2
3t2
3t2
можно сделать вывод, что
любая функция вида
s(t)=t3+C является
решением данной задачи,
где C любое число.

9.

При решении задачи, мы, зная производную
функции, восстановили ее первичный образ.
Эта операция восстановления - операция
интегрирования.
Востановленная функция – первообразная
( первичный образ функции)
Операция
дифференцирования
функция y = F(х)
(первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегрирования

10.

Определение первообразной
y = F(x) называют
первообразной для y = f(x) на
промежутке X, если при x ∈ X
F'(x) = f(x)

11.

Операция
дифференцирования
функция y = F(х)
(первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегрирования
В математике много операций которые
являются обратными
32 = 9
?
?
Сегодня мы познакомились с новой операцией
интегрирование
? дифференцирование

12.

Запомните: Первообразная – это родитель
производной:

13.

f(x)
1
F(x)
Задача:
Найдите все первообразные
для функций:
f(х)=3
f(х)= х2
f(х)=cosx
f(х)=12
f(х)=х5

14.

Три правила нахождения первообразных
Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на
промежутке
первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x), то
Функция
Первообразная
у = f(x) + g(x)
у = F(x) + G(x)
Первообразная суммы равна сумме первообразных
у =k f(x)
у =k F(x)
Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной

15.

Найти первообразные для функции
f ( x) 5 x e
3
f(x)
2 x 7
F(x)
4
4 cos x
Решение:
Используя правила
нахождения
первообразных и
таблицу получим
x 1 2 x 7
F ( x) 5 e
4 sin x C
4 2

16.

17.

Для функции y=f(x) найдите хотя бы одну первообразную: