Додавання і множення числових нерівностей. 9 клас

1. Додавання і множення числових нерівностей

Алгебра
9 клас

2.

Додавання числових нерівностей
Якщо додати дві правильні числові нерівності одного знака:
(5 7) ( 4 0)
то отримаємо правильну нерівність:
1 7
Властивість: Якщо почленно додати
правильні нерівності одного знака,
залишивши їх спільний знак, то одержимо
правильну нерівність.
Якщо a > b і с > d, то a + с > b + d
Наприклад, якщо 18 > 10 і – 9 > – 12,
то 18 + (–9) > 10 + (– 12);
9>–2

3.

Додавання числових нерівностей
Додайте почленно нерівності:
1) –15 < –5 i 7 <10
8<5
2) –55 > –78 i 71 > 36
16 > –32
3) –5,4 < 0,7 i 1,4 < 3,7
–4 < 4,4
4) 1,3 < 3,2 i –7 < 0
– 5,7 < –71

4.

Множення числових нерівностей
Якщо помножитит дві правильні нерівності одного знака:
(5 7) (2 3)
то отримаємо правильну нерівність:
10 28
Властивість: Якщо почленно перемножити
правильні нерівності одного знака, ліві і праві
частини яких – додатні числа, залишивши їх
спільний знак, то одержимо правильну
нерівність.
Якщо a > b і с > d, і a,с,b,d – додатні, то aс > bd
Наприклад, якщо 8 > 3 і 9 > 2
то 8 9 > 3 2;
72 > 6.

5.

Множення числових нерівностей
Пермножте почленно нерівності:
1) 5 < 6 i 7 < 11
35 < 66
2) 50 > 25 i 10 > 4
500 > 100
3) 0,4 < 0,7 i 3 < 7
1,2 < 4,9
4) 1,3 < 2,2 i 0, 2 < 0,3
0,26 < 0,66

6.

Піднесення до степеня числових нерівностей
Якщо a > b і a, b, – додатні, то an > bn
Наприклад, якщо 5 > 3,
то 52 > 32; 25 > 9,
або 54 > 34; 625 > 81.
Задача: порівняйте площі квадратів із
сторонами 2,6 см і 5,4 см.
Розв’язання:
S = a2
Оскільки 2,6 см < 5,4 см, то і
2,62 см2 < 5,42 см2 або
6,76 см2 < 29,16 см2

7.

Розв’язування вправ:
Оцініть периметр і площу квадрата зі
стороною а, якщо відомо, що 1,3 < х < 1,5.
1) Р = 4а
1,3 4 < 4а < 1,5 4; 5,2 < Р < 6
2) S = a2
1,32 < a2 < 1,52; 1,69 < S < 1,25

8.

Віднімання числових нерівностей
Віднімання числових нерівностей одного знака
заміняється додаванням протилежного значення:
a – b = a + (– b)
Нехай маємо дві нерівності одного знака:18 > 10 і 9 > 2.
Обидві частині другої нерівності
помножимо на (– 1), отримаємо: 9 2 , або 2 9
А тепер додаємо нерівності: 18 ( 2) 10 ( 9)
Отримаємо:
16 1

9.

Ділення числових нерівностей
Ділення числових нерівностей для додатніх чисел
заміняється множенням оберненого значення:
a
1
a
b
b
Нехай маємо дві нерівності одного знака: 3 < 6 і 2 < 5.
Для другої нерівності використаємо властивість:
1 1 , або 1 1
2 5
5 2
1
1
А тепер перемножаємо нерівності: 3 6
5
2
3
3
Отримаємо:
5

10.

Розв’язування вправ:
Відомо, що 5 < х < 8
Оцініть вирази:
1
1)
x
1 1 1
8 x 5
5
2)
x
5 5
1
8 x
5
3)
x
5
5
1
x
8

11.

Оцінювання значень виразів
Якщо a < х < b і c < у < d.
Оцінити суму х + у i різницю х – у.
Загальна схема оцінки суми:
Загальна схема оцінки різниці:
+
a<х< b
c<у<d
a+c<x+у<b+d
–
a<х< b
c<у<d
a–d<x–у<b–c

12.

Оцінювання значень виразів
Якщо a < х < b і c < у < d.
Оцінити добуток ху і частку х/у.
Загальна схема оцінки добутка:
Загальна схема оцінки частки:
×
a<х< b
c<у<d
аc < xу < bd
a<х< b
:
c<у<d
а/d < x/у < b/c

13.

Оцінювання значень виразів
Якщо 2 < х < 4 і 5 < у < 8.
Оцінити суму х + у, різницю х – у,
добуток ху, частку х/у.
+
Оцінка суми:
Оцінка різниці:
2<х<4
2<х<4
5<у<8
–
5<у<8
2+5<x+у<4+8
2–8<x–у<4–5
7 < x + у < 12
–6<x–у<–1

14.

Оцінювання значень виразів
Якщо 2 < х < 4 і 5 < у < 8.
Оцінити суму х + у, різницю х – у,
добуток ху, частку х/у.
Оцінка добутка:
Оцінка частки:
2<х<4
2<х<4
×
:
5<у<8
5<у<8
2 5 < xу < 4 8
2 : 8 < x/у < 4 : 5
10 < xу < 32
0,25 < x/у < 0,8

15.

Розв’язування вправ:
Відомо, що 1,5 < х < 2.
Оцініть значення виразу:
1) х + 2,5
1,5+2,5 < х+2,5 < 2+2,5;
4 < х < 4,5
2) 3х
1,5 3 < 3х < 2 3;
3)10х – 3
1,5 10 –3<10х –3<2 10 –3; 12< х<18
4,5 < 3х < 6

16.

Оцінювання значень виразів
Завдання (самостійно домашнє):
Оцінити суму х + у, різницю х – у,
добуток ху, частку х/у,
якщо 1 < х < 3 і 4 < у < 6.