Числові нерівності. Нерівності зі змінними. Курс алгебри 9 класу

1.

Курс алгебри 9 класу
Числові нерівності. Нерівності зі змінними.
Основна мета вивчення теми:
Учень повинен знати:
•Основні властивості числових нерівностей.
•Методи доведення нерівностей.
•Означення перерізу та об'єднання числових проміжків.
•Означення розв'язку нерівності.
Учень повинен вміти:
•Наводити приклади числових нерівностей, нерівностей
зі змінними.
•Обгрунтовувати властивості числових нерівностей.
•Застосовувати властивості числових нерівностей для
оцінювання значення виразу.
•Зображати на числовій прямій: задані нерівностями
числові проміжки, виконувати обернене завдання;
зображати на числовій прямій: переріз, об'єднання
числових множин.
•Доводити нерівності.

2.

Планування:
•Числові нерівності. Доведення нерівностей.
•Властивості числових нерівностей.
•Приклади розв'язування вправ з теми : “Числові нерівності.
Властивості числових нерівностей.”
•Завдання для самостійної роботи: тестова перевірка, тренувальні
вправи, математичний диктант.
•Нерівності з однією змінною. Числові проміжки.
•Об'єднання та переріз числових проміжків.
•Приклади розв'язування вправ з теми: “Нерівності з однією змінною.
Числові проміжки.”
•Завдання для самостійної роботи: тестова перевірка знань,
тренувальні вправи.
•Контроль знань учнів з теми : “ Числові нерівності. Нерівності зі
змінними.”

3.

Числові нерівності.
a b, якщо a-b 0.
a b, якщо a-b 0.
a=b, якщо a-b=0.
Для порівняння двох чисел a і b досить утворити різницю a і b і
з’ясувати, є вона додатним числом, від’ємним числом чи нулем.
Порівняємо числа 3 і 9 . Для цього знайдемо
22
7
їх різницю:
3
7
9
- 22 =
3 * 22 7 * 9
7 * 22
3
= 7 * 22 .
Різниця даних чисел – число додатне, тому 3
7
9 .
22
На координатній прямій більше число зображають точкою, яка
лежить праворуч від точки, що зображає менше число.

4.

Числові нерівності. Доведення нерівностей.
Нерівності, складені за допомогою знаків або ,
називають строгими нерівностями, а нерівності, складені за
допомогою знаків або , називають нестрогими.
a b , якщо
a–b 0.
a b , якщо
a–b 0.
Доведення нерівностей.
Доведемо, що для будь-якого числа a є правильною нерівність
a * a 4 a 2 .
Доведення:
Утворимо різницю лівої та правої частин нерівності і перетворимо її:
a a 4 a 2 a 2 4a a 2 4a 4 4.
2
Оскільки різниця a a 4 a 2
є від'ємною для будь – якого числа, то
a a 4 a 2
нерівність
є правильною теж для будь – якого числа a.
2
2
Запамятай нерівностіі:
a
1
2 , де
a
a 0.
Нерівність Коши:
Сума двох взаємно обернених чисел не менша від 2.
a b
ab , де a 0, b 0.
2
Середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їх середнього
геометричного.
2

5.

Властивості числових нерівностей:
1. Якщо
a b,
то
b a
2.Якщо a b і b c , то
.
a c .
3.Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число,
то одержимо правильну нерівність.
4. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на
одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й
те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо
правильну нерівність.
Наслідок. Якщо a і b – додатні числа, то
1 1
.
a b
5.Якщо почленно додати правильні нерівності однакового знака, залишивши
їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.
6.Якщо почленно перемножити правильні нерівності однакового знака, ліві і
праві частини яких додатні числа, залишивши при цьому їхній спільний знак,
то одержимо правильну нерівність.
Наслідок. Якщо
a b , a і b – додатні числа, n - натуральне число, то
an bn

6.

Додавання і множення числових нерівностей.
Оцінювання значень виразів.

7.

Приклади розв'язування вправ з теми :
“Числові нерівності. Властивості числових нерівностей.”
1.Довести, що нерівність
10a 2 6a 2ab b 2 2 0
є правильною для будь – яких дійсних чисел a і b.
Доведення:
Оскільки 3a 1 0 ,
a b 2 0
10a 2 6a 2ab b 2 2 9a 2 6a 1 a 2 2ab b 2 1 3a 1 a b 1.
2
2.Відомо,
а)
x 3
1 x 3
;
2
2
для будь – яких дійсних чисел a b , то
3a 1 2 a b 2 1 0.
. Оцінити значення виразу:
б)
x ;
2x 5
в)
,
Розв'язання:
a)Додамо до всіх частин нерівності
1 3 x 3 3 3
1 x 3
. звідки
б) Помножимо всі частини нерівності
1 x 3
, або
число -3, одержимо:
4 x 3 0.
1 x 3
на -1, одержимо:
3 x 1.
в) Помножимо всі частини заданої нерівності на 2, матимемо:
2 2x 6.
Тепер додамо до всіх частин одержаної нерівності число -5, одержимо:
2 5 2x 5 6 5
, звідки
7 2x 5 1.
.

8.

Приклади розв'язування вправ з теми:
“Числові нерівності. Властивості числових нерівностей.”
3. Дано: 11 x 14
a) суму x+y
в) добуток
xy
. Оцінити:
1 y 2
;
б) різницю x -y ;
;
г) частку
x
y
.
Розв'язання:
а) Застосовуємо властивість про почленне додавання нерівностей.
11 x 14
1 y 2
12 x y 16
б) Спочатку оцінимо значення виразу –y.
1 y 2
або
2 y 1
.
За властивістю про почленно додавання нерівностей матимемо:
11 x 14
2 y 1
9 x y 13
в) Застосовуємо властивість про почленне множення нерівностей.
11 x 14
1 y 2
11 xy 28

9.

Приклади розв'язування вправ з теми:
“Числові нерівності. Властивості числових нерівностей.”
x
y
Г) Оцінимо частку
Подамо частку
.
x
y
1 1 1
1 y 2
у вигляді добутку
або
1 1
1
2 y
нерівностей матимемо:
11 x 14
1 1
1
2 y
11 x
14
2
y
Тобто
5,5
x
14.
y
x
1
y
. Оскільки
1 y 2
, то
. За властивістю про почленне множення

10.

Приклади розв'язування вправ з теми:
“Числові нерівності. Властивості числових нерівностей.”
4. Довести нерівність
m n mn 1 4mn
, де
m 0 n 0 .
Доведення:
Використовуємо нерівність Коши
a b
,,
ab
2
де
a 0, b 0.
Запишемо цю нерівність для чисел m і n, а потім - для чисел mn і 1. Одержимо дві правильні
нерівності:
m n
mn
2
;
mn 1
mn .
2
Помножимо обидві частини кожної нерівності на 2:
m n 2 mn
; mn 1 2 mn
.
Почленно перемноживши ці нерівності, одержимо:
m n mn 1 4mn .
Суть застосованого способу доведення нерівностей полягає в тому, що:
1)записуємо кілька нерівностей, які доведені раніше;
2)Перемноживши (або додавши) ці нерівності, приходимо до нерівності, яку потрібно було
довести.

11.

Перевір свої знання!
Завдання 1 . Виконай тестові завдання:
Завдання 2. Виконай тренувальні вправи:

12.

Перевір свої знання!
Завдання 3. Виконай завдання математичного диктанту:

13.

Нерівності з однією змінною. Числові проміжки.
Розв'язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке
перетворює її у правильну числову нерівність.
Розв'язати нерівність означає знайти всі її розв'язки або довести, що
розв'язків немає.
Множини розв'язків можна записувати у вигляді числових проміжків.
Види числових проміжків залежно від нерівності:

14.

Об'єднання та переріз числових проміжків.
Розглянемо два проміжки:
1;4 і
2;7 .
1
2
4
7
x
1;7 утворюють усі числа, які належать проміжку 1;4
2;7 . Кажуть , що проміжок 1;7
або проміжку
є об'єднанням проміжків 1;4 і 2;7 .
" "
Записують: 1;4 2;7 1;7 , де
- знак об'єднання.
Проміжок
Об'єднанням числових проміжків називають множину всіх чисел, які належать хоча б
одному з цих проміжків.
2;7
Проміжок 2;4 утворюють усі спільні числа з проміжків 1;4 і
, тобто
1
;
4
2
;
7
усі числа, які належать кожному з проміжків
і
. Кажуть, що проміжок 2;4
є перерізом проміжків
1;4
і
2;7 . Записують: 1;4 2;7 2;4 , де " "- знак перерізу.
Перерізом числових проміжків називають множину всіх чисел, які належать
кожному з цих проміжків.

15.

Нерівності з однією змінною. Числові проміжки.
Приклади розв'язання вправ:
1.Вказати найменше і найбільше дійсні числа, які належать проміжку:
1
а) ;1,01
3
; б)
2;3
; в) ;4,8
; г) 5; .
Розв'язання:
а) 1 ; 1,01.
3
б) -2 ;найбільшого дійсного числа, яке належить цьому проміжку немає.
в) найменшого числа немає; 4,8;
г) ні найменшого, ні найбільшого чисел немає.
2.Зобразити на координатній прямій множину чисел, які задовольняють нерівність, і
записати цю множину у вигляді проміжку або об'єднання проміжків:
a)
x 5
; б)
x 5
.
Розв'язання:
а) Модулем числа x є відстань від початку відліку до точки, що зображає число x на
координатній прямій. Тому розв'язками даної нерівності є числа, яким відповідають ті
точки координатної прямої, що розміщені від початку відліку на відстані, яка не
перевищує 5.
5
Отже, розв'язками нерівності x 5
0
5
є всі числа, які належать проміжку 5;5 .

16.

Нерівності з однією змінною. Числові проміжки.
Приклади розв'язання вправ:
б) Розв'язками нерівності
x 5
є числа, яким відповідають ті точки координатної
прямої, що розміщені від початку відліку на відстані, не менший від 5 (більший від 5 або
дорівнює 5), тобто значення x , які задовольняють нерівність x 5
5
0
Отже, множиною розв'язків нерівності
; 5
і
5; , тобто
5
або нерівність
x 5
.
x
є об'єднання проміжків
x 5
; 5 5;
.
2;1
3. Зобразіть на координатній прямій проміжки
переріз.
і
3;4
та знайдіть їх об'єднання і
Розв'язання:
Чисел, які належали б обом цим проміжкам, немає. Тому кажуть, що перерізом цих проміжків є
2;1 3;4 = О.
порожня множина. Її позначають символом “ О “ . Записують:
Об'єднанням проміжків 2;1 і 3;4 є множина 2;1 3;4
проміжком(вона “ складається” із двох проміжків).
2
1
3
, яка не є числовим
4
x

17.

Перевір свої знання!
Завдання 4. Виконай тестові завдання:
:

18.

Перевір свої знання!
Завдання 5. Виконай тренувальні вправи.
Встановіть відповідність між нерівністю, числовим проміжком,
який зображує її розв'язки та його позначенням.

19.

Перевір рівень засвоєння знань з теми :
“Числові нерівності. Нерівності зі змінними.”
Виконай варіант контрольної роботи.

20.

Контрольні запитання:
1. Які нерівності називаються строгими, які нерівності називаються
нестрогими?
2. Способи доведення нерівностей.
3.
Продовжити речення “Сума двох додатних взаємно обернених чисел …”,
“Середнє арифметичне двох додатних чисел не менше …”
4.
Властивості числових нерівностей.
5. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значень виразів.
6.
Означення розв'язка нерівності.
7. Що означає розв'язати нерівність.
8. Числові проміжки.
9. Об'єднання та переріз числових проміжків.

21.

22.

23.

24.

Відповіді:
Завдання1.
1-б 2-б 3—а 4-в
Завдання 2.
1) а 0; b 0
а) 5a 0,3b 0, 4a 0, 8b 0, a 0, b 0
ab 4 0, ab 5 0
б) a 2 0, b 3 0, a 5 0, b 4 0, a 2 b 0, a 3b 2 0,
в) a
5
5
0,
4
a
a2
a4
b
0, 0,
0, 0, 7 0
b
b
b
b
a
2) 10a 2 5a 1 a 2 a 10a 2 5a 1 a 2 a 9a 2 6a 1 3a 1 0.
2
Завдання 3.
Варіант 1.
1) 12 2 x 16, 8 x 6, 24 3x 18, 3 x 4, 1 x 5 13, 5 3 x 9, 25 4 x 1 31, 38 2 5 x 32.
2
2) 6 a b 8,1 a b 3,8 ab 15, 4 a 5 .
3 b 2
3) 17,7 P 18,3
Завдання 4.
Варіант 1.
Варіант 2.
1- в 2-б 3-б
1– в
2- в
3-а

25.

Відповіді:
Завдання 5.
Варіант 1.
Варіант 2.
1)
з) б)
1) ж) г)
2)
ж) г)
2) г) е)
3) а) е)
3) е) з)
4) в) а)
4) - а)
5) б) ж)
5) з) в)
6) г) в)
6) а) д)
7) д) -
7) д) ж)
8) е) з)
7) в) б)

26.

Відповіді:
Контрольна робота.
1) Б
2) В
3) В
4) Б
5) А
6) Б
7) b 6 a 5.
8) 4 30
9) а)
0,2
1
a 2b 1,8
4
1
2
б) 2,4 ab 5,4
10) 64а 25 8a 3 2a 64a 25 24a 16a 2 16a 2 40a 25 4a 5 2 0
64a 25 8a 3 2a 8a 3 2a 64a 25.