Неравенства

1.

«Неравенства»

2.

Число а больше числа b,
если разность а – b – положительное число
a > b, если а – b > 0
Число а меньше числа b,
если разность а – b – отрицательное число
a < b, если а – b < 0
Если а – b = 0, то а = b
На координатной прямой большее число
изображается точкой, лежащей правее, а меньшее
– точкой, лежащей левее

3.

Свойства числовых неравенств:
Если a > b и b > c, a > c
a
c
b
Если a > b, с любое число, то a+c > b+c
Если к обеим частям верного неравенства прибавить
одно и то же число, то получится верное неравенство
Если а > b и с-положительное число (c > 0), то ac > bc
Если обе части верного неравенства умножить или
разделить на одно и то же положительное число, то
получится верное неравенство
Если а > b и с - отрицательное число (c<0), то ac< bс
Если обе части верного неравенства умножить или
разделить на одно и то же отрицательное число, и
изменить знак неравенства на противоположный, то
получится верное неравенство

4.

Примеры заданий из ОГЭ
1. Известно, что a > b. 2. На координатной прямой
отмечены числа х и у.
Сравните a - b и b - a
Сравните числа – х и – у.
А) a - b > b - a
верно
Б) a - b < b - a
неверно
В) a - b = b - a
неверно
Г) Данных для сравнения
недостаточно
неверно
0
х
А) – х – у
Б) – х – у
В) – х = – у
у
неверно
верно
неверно
неверно
Г) Сравнить
невозможно.

5.

3. Каждое из чисел
соотнесите с
соответствующей ему
точкой координатной
прямой.
N P
Q
M
3
4
40
15
23
5
6
M, N, P, Q
M, N, P, Q
M, N, P, Q
4. Известно, что a и b –
положительные числа и
a b. Сравните 1 и 1 .
a b
7
верно
неверно
верно
неверно
верно
неверно
1
1
А.
a
b
1
1
Б.
a
b
1
1
В.
=
a
b
Г. Сравнить
невозможно.
неверно
верно
неверно
неверно

6.

5.О числах a, b, c и d известно,
что a b, b = c, d c.
Сравните d и a.
А. d = a
неверно
Б. d a
неверно
В. d a
верно
Г. Сравнить неверно
невозможно.
6. Известно, что a и b –
отрицательные числа и
a > b. Сравните - a и - b
А. a b
неверно
Б. a b
верно
В. a
неверно
=
b
Г. Сравнить неверно
невозможно.

7.

7. Известно, что число m – отрицательное. На каком из
рисунков точки с координатами 2m , m, m² расположены
на координатной прямой в
правильном порядке?
А.
2m
m
m
2m
Б.
В.
m²
m
m²
верно
m
m²
А.
m² неверно
Б.
неверно
В.
2m
неверно
Г.
8. Известно, что число m – отрицательное. На каком из
рисунков точки с координаm
тами
, m, m² расположены
2
на координатной прямой в
правильном порядке?
2m
Г.
m
2
m
m
m
2
m²
m²
m²
m
m
2
m
m²
m
2
неверно
верно
неверно
неверно

8.

Определение неравенства
1. Линейное неравенство – неравенство вида
ах+в>0 (<0, > 0, < 0), где а и в – любые
числа, за исключением: а≠0.
2. Квадратное неравенство – неравенство
вида ах2+вх+с>0 (<0, > 0, < 0), где а≠0.

9.

Основные правила решения
неравенств.
Правило 1. Любой член неравенства можно
перенести из одной части неравенства в другую с
противоположным знаком, не изменив при этом
знак неравенства.
ax b c
ax c b

10.

Правило 2. Обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то же
положительное число, не изменив при этом знак
неравенства.
ax b :а
a 0
b
x
a

11.

Правило 3. Обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом знак
неравенства на противоположный.
ax b :а
a 0
b
x
a

12.

Решаем неравенство.
6x 2 3x 7
6x 3x 7 2
3x 9
:3
x 3
-3
х
Ответ: ; 3

13. Решите неравенство

17- х ≥ 10 – 6х
- х + 6х ≥ 10 – 17
5х ≥ - 7
х ≥ - 1, 4
Ответ: [ - 1, 4; + ∞)

14. Решите неравенство

5(х – 1) + 7 ≤ 1 – 3(х + 2)
5х – 5 + 7 ≤ 1 – 3х – 6
5х + 3х ≤ 5 – 7 + 1 – 6
8х ≤ - 7
х≤- 7
8
7
Ответ: ( - ∞; - ]
8

15. Решите неравенства

6у (у – 1) – 2у (3у – 2) < 6
3х 1
2
4
3у у
2
2 3
х 3 2х 1
х
4
5
10

16.

Алгоритм решения квадратного
неравенства.
1. Находят дискриминант квадратного
трехчлена ах2+вх+с и выясняют, имеет ли
трехчлен корни;
aх² + bх + с < 0 D >0, два корня х1 и х2
2
D = b – 4ac
– b +- D
х 1, 2 =
2a
D=0, один корень х
D<0 корней нет

17.

2. Если трехчлен имеет корни, то Трехчлен не имеет
отмечают их на оси Х и через
корней
отмеченные точки проводят
схематически параболу, ветви
которой направлены вверх при а > 0
или вниз при а < 0; если трехчлен
не имеет корней, то схематически
а>0
а<0
изображают параболу,
расположенную в верхней
полуплоскости при а > 0 или в
нижней при а< 0;
а>0
х1
х2
а<0
х1
х2
а>0
х1
х2
а<0
х1
х2

18.

3. Находят на оси Х промежутки, для
которых точки параболы расположены выше
оси Х (если решают неравенство ах²+вх+с>0
или ниже оси Х (если решают неравенство ах²+вх+с‹0
aх² + bx + c > 0
х1
х2
aх² + bx + c < 0
х1
х2

19.

Решаем систему неравенств.
Решить систему неравенств – найти значение
переменной, при котором верно каждое из
неравенств системы.
х 3,5,
2 х 7,
3x 18 x 6
2 х 1 6,
5 3х 13
3,5
6
Ответ: 3,5 x 6

20.

Примеры заданий из ОГЭ
Решите неравенство
3х + 5 < 7х - 3
и укажите, на каком рисунке изображено
множество его решений.
ВЕРНО
А)
0
Б)
0
НЕВЕРНО
НЕВЕРНО
2
В)
-2
0
-2
0
НЕВЕРНО
Г)
2

21.

Решите неравенство
3(1 – х) – (2 - х) < 5
А) х > -2
НЕВЕРНО
Б) х < -2
НЕВЕРНО
В) х < 2
НЕВЕРНО
Г) х >2
ВЕРНО

22.

Решите неравенство
5 х + 20 < 2(4х – 5)
А) (-10; +
Б) (-
)
НЕВЕРНО
; -10)
НЕВЕРНО
В) (10; +
Г) (-
; 10)
)
ВЕРНО
НЕВЕРНО

23.

На рисунке изображен график функции
у = х 2- 3х.
Используя этот график, решите неравенство
х 2 - 3х > 0
у
0
3
х
(;0] [3; +
)
Ответ:____________

24. Решите неравенство

( 19 4,5)(5 3х) 0
Решение:
19 4,5 19 20,25 0
5 3х 0
3 х 5
5
х
3
5
Ответ : ( ; )
3

25. Решите неравенство

( 19 4,5)(5 3х) 0
Решение:
19 4,5 19 20,25 0
5 3х 0
3 х 5
5
х
3
5
Ответ : ( ; )
3

26. Найдите область определения функции

у ( х 2)( х 15)( х 3)
Ответ : 3;2 15;

27. Решите неравенство

( х 9)( х 5) ( х 18) 0
2
Ответ : ( ; 9) (18; )