Вектор в пространстве

1. Векторы в пространстве

вход

2. Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d

3. Свойства

B1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда

4. Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN ( AD BC ) ( AC BD )
2
2
Доказательство

5. Доказательство

С
N
D
B
M
A
Доказатель ство :
MN MA AC CN
MN MB BD DN
2 MN AC BD
1
MN ( AC BD ) ч.т.д.
2
Дано :
AB; CD
BM AM
CN ND
Доказать :
1
MN ( AC BD )
2

6. Вектор, проведенный в центроид треугольника,

равен одной трети суммы векторов, проведенных из
этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан
треугольника.
O
С
A
M
B
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказательство

7. Доказательство

O
С
A
M
K
B
Дано :
ΔABC
M центроид
Доказать :
1
OM ( OA OB OC )
3
Доказатель ство :
1
2
OM OA OK
3
3
1
2 1
OA ( ( OC OB ))
3
3 2
1
1
1
1
OA OB OC ( OA OB OC ) ч.т.д.
3
3
3
3

8. Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

равен одной четверти суммы векторов, проведенных
из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM ( OA OB OC OD )
4
Доказательство

9. Доказательство

O
B
C
M
Дано :
ABCD пар м
BD AC M
Доказать :
1
OM ( OA OB OC OD )
4
A
D
1
OM ( OA OC )
2
1
OM ( OB OD )
2
1
1
1
1
2OM OA OB OC OD
2
2
2
2
1
1
1
1
OM OA OB OC OD
4
4
4
4
1
( OA OB OC OD ) ÷.ò.ä.
4

10. Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах,
исходящих из одной вершины.
B1
C1
A1
a
A
d
D1
B
C
b
с
D
d a b c
Доказательство

11. Доказательство

Дано :
B1
C1
A1
a
A
d
AA1 a
D1
B
C
b
D
с
Доказательство :
AC1 AA1 AB1 BC1
AA1 AB AD
a b c ч.т.д.
ABCDA1B1C1D1 пар м
AB b
AD c
AC1 d
Доказать :
d a b c