Проекции с числовыми отметками. Лекция 29

1. Лекция 29

Проекции с числовыми отметками
Принципы и аппарат проецирования
Проекции точки, прямой, плоскости
Градуирование прямой
Понятия уклона и интервала прямой
Взаимное расположение прямых
Геометрическая модель плоскости и способы ее
задания. Масштаб уклона плоскости
• Взаимное расположение точек , прямых и плоскостей
• Проекции поверхностей

2.

Проектирование и строительство жилых, общественных
и промышленных зданий не может осуществляться
без инженерной подготовки и благоустройства
городских территорий. Такие сооружения, как
магистрали и транспортные развязки, путепроводы и
мосты, набережные и подземные переходы являются
неотъемлемыми элементами современного города.
В процессе проектирования зданий и сооружений
составляют чертежи, на которых изображается
спланированная земная поверхность.
Проектирование сооружений, чтение и выполнение
чертежей требует знания специального способа
изображения- метода проекций с числовыми
отметками

3. Аппарат проецирования в проекциях с числовыми отметками

Если размеры проецируемого объекта в
вертикальном направлении малы по сравнению с
размерами в горизонтальных направлениях,
целесообразно применять метод с числовыми
отметками. Данный метод требует построение
только одной проекции- на горизонтальную
плоскость П, которую называют «нулевой» (за
«абсолютный нуль» в нашей стране принят
уровень Балтийского моря у Кронштадта).
С помощью метода с числовыми отметками
изображается рельеф местности, нанесенные на
нем дороги, а также решаются многие задачи по
проектированию земляных сооружений, посадке
объектов на рельеф, определению объема
земляных работ и другие.

4. Аппарат проецирования в проекциях с числовыми отметками

Положение проецируемых точек в пространстве по высоте
определяется их расстоянием от нулевой плоскости
в метрах и отмечается цифрами в виде индексов внизу у букв,
обозначающих проекции данных точек на плоскость П.
Отметка точки, находящейся ниже «нулевой» плоскости,
считается отрицательной и проставляется со знаком «минус».

5. Геометрическая модель прямой

Прямая может быть задана:
1. проекциями с числовыми отметками двух ее точек
2. одной точкой с числовой отметкой, направлением
горизонтальной проекции этой прямой и тангенсом
угла её наклона к плоскости По.

6. Для нахождения натуральной величины отрезка АВ следует мысленно совместить вертикальную плоскость, в которой расположен отрезок

АВ с горизонтальной
плоскостью нулевого уровня.

7. Проекция отрезка на плоскость нулевого уровня L называется заложением отрезка. Разница между высотами точек А и В называется

превышением этих
точек над плоскостью нулевого уровня (ΔΗ)
L

8. Уклон прямой определяется тангенсом угла наклона этой прямой к плоскости «нулевого уровня». Уклоном прямой называется отношение

превышения к
заложению отрезка.
i=tg φ= ΔH/L

9. Величина, обратная уклону прямой называется интервалом прямой. L =Ctg φ=1/i Интервал прямой- заложение единичного отрезка этой

прямой (L).
(Единичный отрезок- отрезок прямой, у которого
разница между отметками концов =1м)

10.

Определение натуральной величины отрезка прямой и
угла его наклона к плоскости нулевого уровня
Задача 6.1 стр.48:

11. Решение: Натуральную величину отрезка прямой определяем по методу прямоугольного треугольника. Фактический размер натуральной

величины измеряется с помощью масштабной
линейки, угол α – с помощью транспортира.
6

12. Градуирование прямой

Прямая может быть задана точками, имеющими
дробные числовые отметки, а для решения целого
ряда задач удобно иметь отметки точек прямой,
выраженные целыми числами.
Отыскание на проекции заданного отрезка точек,
отметки которых равны целым числам и отличаются
на единицу от отметок рассматриваемых соседних
точек, называется градуированием прямой.

13. Градуирование прямой

задача:
градуировать
отрезок прямой
А(25) В(20,3).
0
1
2м

14.

Решение:
Используем
теорему
Фалеса
1.
2.
Через точку А25
проведем
произвольную
вспомогательную
прямую
На ней от точки А25
отложим в любом
масштабе отрезок,
равный разности
между отметками точек
и разделенный на
единичные отрезки
1
1
1
1
25-20,3=4,7
0
1
2м
0,7

15.

3. Соединим последнюю
точку полученной
пропорции, отложенной
на вспомогательной
прямой, с концом отрезка
точкой В 20,3. Т.о.
получим линию
пропорционального
переноса.
4.С помощью прямых,
параллельных линии
переноса, определим на
заданной проекции
прямой точки
с
целыми числовыми
отметками :
24, 23,
22, 21.

16. Задача: Определить отметку точки В, лежащей на прямой АВ. Прямая задана точкой А25, направлением и уклоном i=2:3

17. Решение: 1.Определяем величину интервала прямой

18. 2. С помощью найденного интервала прямой градуируем проекцию отрезка АВ- находим точки 24,23,22 3. Определяем отметку точки В,

разделив отрезок
между точками 22-23 с помощью теоремы Фалеса на 10
частей. Получим отметку 22,2
L
L

19. Взаимное положение прямых

Прямые
параллельны,
если:
• Их проекции
параллельны
• Интервалы равны
• Числовые отметки
возрастают в
одном
направлении

20. Взаимное положение прямых

Прямые пересекаются,
если:
• Их проекции
пересекаются
• Точка пересечения
имеет одну и ту же
числовую отметку
Скрещивающиеся
прямые:
не выполняются условия
параллельности или
пересечения
0
1
2м

21. Рассмотрим пример: Через точку С провести прямую, параллельную данной АВ

0
1
2м

22. Решение: 1.Через точку С12 проведем прямую, параллельную заданной проекции А6 В10

0
1
2м

23. 2. С помощью теоремы Фалеса градуируем искомую прямую. Для этого проведем вспомогательную прямую под произвольным углом,

отложим на ней разницу
числовых отметок (10-6=4) и соединим конец
пропорции в концом искомого отрезка
0
1
2м

24. Получим линию пропорционального переноса и параллельно ей перенесем указанную пропорцию на проекцию отрезка АВ.

0
1
2м

25. Определим интервал прямой АВ. На проекции прямой, проходящей через (.) С12, отложим полученные интервалы. Т.к. у параллельных

прямых интервалы
равны
0
1
2м

26. 3. Числовые отметки возрастают в одном направлении- проставим отметки на прямой, проходящей через (.) С12 : 13,14,15

3. Числовые отметки возрастают в одном направлениипроставим отметки на прямой, проходящей через
(.) С12 : 13,14,15
0
1
2м

27. Рассмотрим пример скрещивающихся прямых. Задача: определить, на какой глубине пройдет теплотрасса АВ под кабельной линией СД

28. Проградуируем прямую СД. 1.определим разницу отметок концов отрезка 11-3=8. 2.через конец отрезка (.)С3 проведем произвольную

вспомогательную
прямую, на которой отложим 8 любых равных между собой отрезков,
последнюю точку пропорции соединим с концом отрезка (.)Д11- получим
линию пропорционального переноса
3. Перенесем полученную пропорцию с помощью параллельных прямых
на проекцию отрезка СД и проградуируем прямую СД
Вспомогательная
прямая
°
Линия пропорционального
переноса

29. Определим отметку точки, лежащей на «видимом» пересечении прямых, разделив расстояние между точками 6 и 7 на десять частей

(6,5)
°

30. Проградуируем проекцию отрезка АВ. Разница числовых отметок составит 8-2=6. Определим отметку «видимой»точки пересечения для

АВ= 4,8м
Т.о. разница по высоте между теплотрассой и кабельной линией составит
6,5-4,8=1,7 м

31. Проекции плоскостей

Плоскость в проекциях с числовыми отметками
может быть задана:
• Тремя точками с числовыми отметками
• Точкой и прямой
• Двумя параллельными прямыми
• Двумя пересекающимися прямыми
• Отсеком (фрагмент плоскости)
• Масштабом уклона плоскости

32. Масштаб уклона плоскости -градуированная проекция линии наибольшего наклона плоскости

Линия наибольшего наклона плоскости- прямая, лежащая в плоскости,
составляющая с плоскостью проекций максимальный угол и перпендикулярная
соответствующей линии уровня этой плоскости

33. Горизонтали плоскости располагаются перпендикулярно линии наибольшего наклона плоскости

34. Проекции горизонталей перпендикулярны проекции линии наибольшего наклона, называемой масштабом уклона плоскости (на основании

теоремы о
проецировании прямого угла без искажения)

35. На чертеже масштаб уклона плоскости показывается толстой и тонкой параллельными линиями и градуируется. Проекции горизонталей

плоскости
изображаются в виде прямых, перпендикулярных
масштабу уклона плоскости

36. Рассмотрим пример.

Задача 6.2 стр.48:
Решение:
1.проградуируем прямые
АВ и ВС плоскости

37. 2.Проведем в плоскости треугольника горизонтали на высоте 12 и 13 метров

38. 3. Зададим в плоскости линию наибольшего наклона перпендикулярно к горизонталям плоскости

39. 4. С помощью интервала плоскости определим угол наклона плоскости треугольника, для чего найдем натуральную величину единичного

отрезка (например в точке В14 восстановим
перпендикуляр к масштабу уклона плоскости и отложим на нём 1м
(превышение). Гипотенуза построенного треугольника является
натуральной величиной единичного отрезка, а угол между н.в. и
проекцией единичного отрезка (α) является углом наклона
плоскости треугольника к плоскости нулевого уровня

40. Взаимное расположение точки , прямой и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она
принадлежит прямой, лежащей в этой
плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если
она:
• проходит через две точки плоскости
• проходит через точку плоскости,
параллельно прямой, лежащей в этой
плоскости

41. Задача: Определить отметку точки А, лежащей в плоскости Рi

42. Решение: 1. Проведем через точку А произвольную прямую , принадлежащую плоскости, и определим отметки точек пересечения данной

прямой с горизонталями плоскости

43. 2. Определим отметку точки А, разделив отрезок 5-6 на 10 частей

44. Задача: в плоскости провести прямую с заданным уклоном i=1/3 Решение: 1.Зададим в плоскости произвольную точку (например 5)

2.Определим интервал прямой L=1/i=3
3. R=3 м проведем окружность с центром в произвольной точке
плоскости 5
L

45. Найдем точки пересечения окружности с горизонталями плоскости и определим положение прямой, проходящей в данной плоскости с

заданным уклоном.
В данной задаче 2 решения
Варианты:
L
L
L
L
L
L

46. Проведение через прямую плоскости заданного уклона

Задача:
через прямую АВ
провести плоскость
с уклоном i=4/3

47. Проведение через прямую плоскости заданного уклона

Решение:
1. Определим интервал
плоскости L=1/i=3/4.
Для нахождения
графической величины
интервала зададим
сетку с шагом 1 м.
Построим прямую с
уклоном 4:3 и
определим заложение
единичного отрезка
(превышение которого
составляет 1 м)

48. Проведение через прямую плоскости заданного уклона

2. В любой
точке
прямой
проведем
окружность
R=Lпл.

49. Проведение через прямую плоскости заданного уклона

3.Проведем касательные к
полученной окружности
- горизонтали проектной
плоскости.
Возможны варианты:
• Интервал плоскости
меньше интервала
прямой = 2 решения
• Интервал плоскости
равен интервалу прямой
= 1 решение
• Интервал плоскости
больше интервала
прямой = нет решений

50. Прямая, параллельная плоскости

Задача:
Через точку А 20
провести прямую,
параллельную
плоскости Рi

51. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Решение:
1. Зададим в плоскости Р
произвольную прямую

52. 2.Определяем интервал L прямой, лежащей в плоскости. 3.Через точку А проведем проекцию прямой, параллельно прямой, лежащей в

плоскости
4. Градуируем прямую,
проходящую через точку А.
Интервалы двух прямых
равны.
5.Определяем направление
роста отметок на прямой,
параллельной плоскости - в
одном направлении

53. Пересечение прямой с плоскостью

Задача 6.5 стр.49:

54. Решение:

Чтобы найти пересечение
прямой с плоскостью,
необходимо выполнить 3
шага:
• Заключить прямую в
плоскость –посредник.
• Найти линию пересечения
плоскости-посредника и
искомой плоскости.
• Найти точку пересечения
полученной линии
пересечения плоскостей и
прямой. Определить
видимость.
Сначала градуируем прямую

55.

Произвольная прямая. 9-6=3
Линия
пропорционального
переноса
1. Для градуирования
прямой применяем
теорему Фалеса .
Определяем точки с
целыми числовыми
значениями 7 и 8.
2. Заключаем прямую АВ в
произвольнорасположенную
плоскость-посредник,
которую задаем
горизонталями,
проходящими на высоте
7 и 8 метров через точки
7 и 8 прямой

56. Пересечение прямой с плоскостью

3. Находим пересечение
одноименных горизонталей
(проходящих на одной
высоте) обеих плоскостей
(Например, на высоте 8 и 7
метров).Получаем линию
пересечения двух
плоскостей.
4.Определяем точку
пересечения прямой А9В6 с
линией пересечения двух
плоскостей и фиксируем
числовую отметку этой точки
М 7,7 (значение отметки
определяется путем деления
отрезка 8-7 на 10 частей

57. Пересечение прямой с плоскостью

А
5. Определяем видимость
прямой и плоскости. Для
этого возьмем любую
конкурирующую точку,
например (.) А и посмотрим,
что расположено вышепрямая или плоскость?
Плоскость – (.)А10;
Прямая- (.)А 8,7

58. Пересечение прямой с плоскостью

А
Вывод: Плоскость выше,
следовательно прямая не
видна

59. Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть взаимно
параллельными или пересекающимися.
Параллельные между собой плоскости имеют взаимно
параллельные масштабы уклона, с равными
интервалами и возрастанием (или убыванием)
отметок в одном направлении.
Если масштабы уклона заданных плоскостей не
удовлетворяют хотя бы одному условию взаимной
параллельности , то такие плоскости пересекаются

60. Взаимно параллельные плоскости - масштабы уклонов параллельны, интервалы равны и числовые отметки возрастают в одном

направлении

61.

Задача 6.3 стр.48:

62. Пересекающиеся плоскости . Для нахождения линии пересечения 2-х плоскостей надо найти точки пересечения одноименных

горизонталей
Задача 6.3 стр.48:

63. Поверхности

В проекциях с числовыми отметками
поверхности задаются своими
горизонталями, получаемыми от мысленного
пересечения их горизонтальными
плоскостями, проводимыми на расстоянии
единицы масштаба (обычно 1 м) друг от
друга.
Если поверхность закономерная, ее
горизонтали имеют известную форму и
расположены в определенном порядке.

64. Закономерные поверхности

1. Конус прямой
круговой
2. Полусфера
3. пирамида

65. Графические поверхности

Незакономерные
поверхности называют
графическими.
Земная поверхность является
графической и называется
топографическая поверхность.
По горизонталям такой поверхности
можно судить о рельефе местности.
Расстояния между горизонталями
определяют уклон топографической
поверхности в том или ином
направлении. Если расстояние
между горизонталями уменьшается,
значит уклон данной поверхности
становится круче(больше) и
наоборот.
Например: а) холм, б) овраг

66. Пересечение рельефа земной поверхности плоскостью

Задача 6.4 стр.49:

67. Решение: 1.Зададим проектные горизонтали плоскости. Они проходят перпендикулярно к масштабу уклона плоскости

68. 2.Определим точки пересечения горизонталей плоскости и горизонталей рельефа, проходящих на одной высоте.

69. Соединив полученные точки, получим линию пересечения рельефа с плоскостью Рi

70. Т.к. горизонтали на высоте 16 м не пересеклись, задаем промежуточные проектные и рельефные горизонтали через 0,5 м (0,25м) и

определяем пиковую точку на пересечении
горизонталей , расположенных на высоте 15,5 м
15.5
15.5

71. Пересечение рельефа земной поверхности плоскостью

15.5
15.5

72. Пересечение прямой с топографической поверхностью

Задача 6.6 стр.49:
Решение:
1. Градуируем прямую АВ – через
точку А12 проведем произвольную
вспомогательную прямую.
Отложим 4 равных отрезка,
соединим точку С с концом
отрезка (.)В16- получим прямую
пропорционального переноса.
С

73.

2. Заключаем прямую в
плоскость-посредник:
Через точки 13,14,15
прямой проведем
горизонтали плоскостипосредника
(направление
выбираем произвольно,
но так, чтобы было
пересечение с
горизонталями
рельефа.

74.

3. Находим точки
пересечения
горизонталей
плоскости-посредника с
с горизонталями
рельефа.

75.

4.Проведем
промежуточные
горизонтали на отм.14.5
м для уточнения линии
пересечения плоскостипосредника и рельефа.
5.Соединив найденные
точки, построим линию
пересечения плоскостипосредника и рельефа
6. Найдем точку
пересечения прямой
А12В16 с рельефом и
определяем её
отметку:14,25

76.

7. Определяем видимость.
Например, рассмотрим
точку М – рельеф
отм.16, прямая 12,8.
Следовательно, прямая
проходит ниже рельефа
и является невидимой
М
°