Решение рациональных уравнений

1.

«Решение рациональных уравнений.»

2.

Пример 1
Решим уравнение 2 x 1 0.
x 1
Решение
x 1
2
0
x 1
x 3
0
x 1
2 x 1 x 1
0
x 1
x 3 0
2x 2 x 1
0
x 1
x 3
Знаменатель при этом х не обращается в
нуль, следовательно 3 –корень уравнения.
3 – 1 = 2 – не равно нулю
ОТВЕТ: 3

3.

Пример 2
Решим уравнение
Решение
x 1 x 4
1.
x 2 x 3
x 1 x 4
1.
x 2 x 3
х–3
х+2
(х + 2)(х – 3)
x 1 x 4
1 0
x 2 x 3
( x 1)( x 3) ( x 4)( x 2) ( x 2)( x 3)
0
( x 2)( x 3)

4.

Пример 2
Решим уравнение
Решение
x 1 x 4
1.
x 2 x 3
( x 1)( x 3) ( x 4)( x 2) ( x 2)( x 3)
0
( x 2)( x 3)
x 2 3x x 3 ( x 2 2 x 4 x 8) x 2 3x 2 x 6
0
( x 2)( x 3)
x 3x x 3 x 2 x 4 x 8 x 3x 2 x 6
0
( x 2)( x 3)
2
2
2

5.

Пример 2
Решим уравнение
Решение
x 1 x 4
1.
x 2 x 3
x 2 3x x 3 x 2 2 x 4 x 8 x 2 3x 2 x 6
0
( x 2)( x 3)
x 3x 5
0
( x 2)( x 3)
2
x 3x 5 0
2
D 9 20 0
Исходное уравнение не имеет
корней, так как числитель
равносильного уравнения не
имеет корней.
ОТВЕТ: корней нет.

6.

Правило
Для решения рационального уравнения надо перенести все
его члены в левую часть, затем, применяя правила сложения
и вычитания алгебраических дробей, записать левую часть
как алгебраическую дробь и решить полученное уравнение.
Замечание
Отклонение от высказанного правила может привести к
потере корней или к приобретению посторонних корней
данного уравнения.

7.

Например
x 2 x 3 1,
x 3
х-3
( x 2)( x 3)
1 0
x 3
x 2 3x 2 x 6 x 3
0
x 3
x 2 6 x 9 ( x 3) 2
0
x 3
x 3
Х равное 3 обращает знаменатель в
нуль, значит уравнение корней не
имеет.
Однако, если бы мы отклонились
от правила, сократили дробь в
левой части уравнения на (х – 3),
x 2 x 3 1,
x 3
x 2 1
x 3
Но х=3 не является корнем
исходного уравнения – при х=3
левая его часть превращается в
выражение, не имеющее смысла.
Следовательно при таком «способе
решения» мы получили
посторонний корень.

8.

№ 383* (а)
Решить уравнение
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решение
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
4(х + 2)
4х
х(х+1)(х+2)
1
1
1
0;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
4 x 8 4 x x( x 2 2 x x 2)
0
4 x( x 1)( x 2)

9.

№ 383* (а)
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решить уравнение
Решение (продолжение)
4 x 8 4 x x( x 2 x x 2)
0
4 x( x 1)( x 2)
2
8x 8 x3 2 x 2 x 2 2 x
0
4 x( x 1)( x 2)
x 3x 6 x 8
0
4 x( x 1)( x 2)
3
2

10.

№ 383* (а)
Решить уравнение
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решение (продолжение)
x 3 3x 2 6 x 8
0
4 x( x 1)( x 2)
( 2 3 x 3 ) (6 x 3 x 2 )
0
4 x( x 1)( x 2)
(2 x)( 4 2 x x ) 3x(2 x)
0
4 x( x 1)( x 2)
2

11.

№ 383* (а)
Решить уравнение
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решение (продолжение)
(2 x)( 4 2 x x ) 3x(2 x)
0
4 x( x 1)( x 2)
2
(2 x)( 4 2 x x 3x)
0
4 x( x 1)( x 2)
2
(2 x)( x 5 x 4)
0
4 x( x 1)( x 2)
2

12.

№ 383* (а)
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решить уравнение
Решение (продолжение)
(2 x)( x 5 x 4)
0
4 x( x 1)( x 2)
2
(2 x)( x 5x 4) 0
2
2 x 0
x1 2;
x 5x 4 0
D 25 16 0
2
по теореме обратной теореме Виета, имеем:
x2 4; x3 1.

13.

№ 383* (а)
Решить уравнение
1
1
1
;
x( x 1) ( x 1)( x 2) 4
Решение (продолжение)
(2 x)( x 5 x 4)
0
4 x( x 1)( x 2)
x1 2; x2 4; x3 1.
2
Проверим удовлетворяют ли
знаменателю алгебраической дроби
Х3 = -1 обращают знаменатель в нуль, следовательно он исключается.
а х1 = 2, х2 = - 4 не обращают знаменатель в нуль.
ОТВЕТ: -4; 2