как решить уравнение по математике

1. КАК РЕШИТЬ…….

*

2. Содержание

*
Как
Как
Как
Как
Как
Как
Как
решить уравнение по математике.
быстро решить уравнение.
решить простое уравнение.
решить логарифмическое уравнение.
решить неравенство логарифмов.
решить квадратное уравнение.
решить квадратное неравенство.

3. Как решить уравнение по математике

*Как решить уравнение
по математике

4.

*Слово "уравнение" говорит о том, что
записывается некое равенство. В нем есть
известные и неизвестные величины.
Существуют уравнения разного типа логарифмические, показательные,
тригонометрические и другие. Рассмотрим,
как научиться решать уравнения, на
примере линейных уравнений.

5. 1

*Научитесь решать простейшее линейное уравнение
вида ax+b=0. x - это неизвестное, которое надо
найти. Линейными называются уравнения, в которых
x может быть только в первой степени, никаких
квадратов и кубов. a и b - любые числа, причем a не
может равняться 0. Если a или b представлены в
виде дробей, то в знаменателе дроби никогда не
бывает x. Иначе может получиться не линейное
уравнение. Решается линейное уравнение просто.
Переносим b на другую сторону знака равенства. При
этом знак, который стоял перед b, меняется на
противоположный. Был плюс - станет минус.
Получаем ax=-b.Теперь находим x, для чего делим
обе части равенства на a. Получаем x=-b/a
*1

6. 2

* Чтобы решать более сложные уравнения, запомните 1-е
тождественное преобразование. Смысл его в
следующем. К обеим частям уравнения можно
прибавить одно и то же число или выражение. И по
аналогии - от обеих частей уравнения можно отнять
одно и то же число или выражение.Пусть имеется
уравнение 5x+4=8. Отнимем от левой и правой части
одно и то же выражение (5x+4). Получаем 5x+4(5x+4)=8-(5x+4). После раскрытия скобок имеет 5x+4-5x4=8-5x-4. В итоге получается 0=4-5x. При этом выглядит
уравнение по-другому, но суть его осталась прежней.
Исходное и конечное уравнения называются
тождественно равными.
*2

7. 3

*Запомните 2-е тождественное
преобразование. Обе части уравнения
можно умножить на одно и то же число
или выражение. По аналогии - обе части
уравнения можно разделить на одно и то
же число или выражение. Естественно, не
следует умножать или делить на 0.Пусть
имеется уравнение 1=8/(5x+4). Умножим
обе части на одно и то же выражение
(5x+4). Получаем
1*(5x+4)=(8*(5x+4))/(5x+4). После
сокращения получаем 5x+4=8.
*3

8. 4

* Научитесь с помощью упрощений и преобразований приводить
линейные уравнения к знакомому виду. Пусть
имеется уравнение (2x+4)/3-(5x-2)/2=11+(x-4)/6.
Это уравнение точно является линейным, потому что x находится в
первой степени и в знаменателях дробей x отсутствует.
Но уравнение не похоже на простейшее, разобранное на 1-м
шаге.Применим 2-е тождественное преобразование. Умножим обе
части уравнения на число 6 - общий знаменатель всех дробей.
Получаем 6*(2x+4)/3-6*(5x-2)/2=6*11+6*(x-4)/6. После сокращения
числителя и знаменателя имеем 2*(2x+4)-3*(5x-2)=66+1*(x-4). Раскроем
скобки 4x+8-15x+6=66+x-4. В итоге 14-11x=62+x.Применим 1-е
тождественное преобразование. Отнимем от левой и правой части
выражение (62+x). Получаем 14-11x-(62+x)=62+x-(62+x). В итоге 1411x-62-x=0. Получаем -12x-48=0. А это - простейшее
линейное уравнение, решение которого разобрано на 1-м шаге.
Сложное начальное выражение с дробями мы представили в обычном
виде, используя тождественные преобразования.
*
*4

9. Обрати внимание

*Часто ошибки допускаются при раскрытии
скобок. Помните о том, что если перед
скобкой стоит знак минус, при избавлении от
скобки знаки меняются на противоположные.
Например, на 4-м шаге открывали скобку (62+x)=-62-x.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-16117-kakreshit-uravnenie-po-matematike#ixzz2nRpaIUXx
*

10. Полезный совет

* Решайте больше уравнений по учебнику, в
конце которого есть ответы. Контролируйте
правильность выполнения заданий.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak16117-kak-reshit-uravnenie-pomatematike#ixzz2nRpj2XuZ
*

11. Как решать квадратное уравнение

*Как решать квадратное
уравнение
Квадратное уравнение – уравнение вида
аХ2 + bх + с = 0.
Найти его корни не представляет сложности,
если воспользоваться нижеприведенным
алгоритмом.

12. 1

В первую очередь необходимо найти
дискриминант квадратного уравнения. Он
определяется по формуле: D = b2 – 4ac.
Дальнейшие действия зависят от полученной
величины дискриминанта и делятся на три
варианта
*1

13. 2

Вариант1. Дискриминант меньше нуля. Это означает,
что квадратное уравнение не имеет решений в
действительных числах.
Вариант 2. Дискриминант равен нулю. Это
означает, что квадратное уравнение имеет
один корень. Определить этот корень можно
по формуле: х = -b/(2a).
Вариант 3. Дискриминант больше нуля. Это
означает, что квадратное уравнение имеет два
различных корня. Для дальнейшего определения
корней надо найти квадратный корень из
дискриминанта. Формулы для определения этих
корней:х1 = (-b + Д)/(2а) и х2 = (-b - Д)/(2а), где Д –
квадратный корень из дискриминанта.
*2

14. 3

Пример:
Дано квадратное уравнение: х2 – 4х – 5 = 0, т.е. а = 1; b = -4; с
= -5.
Находим дискриминант: D = (-4)2 – 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, квадратное уравнение имеет два различных корня.
Находим квадратный корень из дискриминанта: Д = 6.
По формулам находим корни квадратного уравнения:
х1 = (-(-4) + 6)/(2*1) = 10/2 = 5;
х2 = (-(-4) - 6)/(2*1) = -2/2 = -1.
Итак, решением квадратного уравнения х2 – 4х – 5 = 0
являются числа 5 и -1.
*3

15. Как быстро решить уравнение

*Как быстро решить
уравнение

16.

* Чтобы быстро решить уравнение, нужно максимально
оптимизировать количество шагов по нахождению его
корней. Для этого применяют различные методы
приведения к стандартному виду, который предусматривает
применение известных формул. Одним из примеров такого
решения может служить использование дискриминанта.
*
*
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-130664-kak-bystroreshit-uravnenie#ixzz2nRrjWmTL

17. 1

*Решение любой математической задачи
может быть разделено на конечное
число действий. Чтобы быстро решить
уравнение, нужно правильно определить его
вид, а затем подобрать соответствующее
рациональное решение из оптимального
количества шагов.
*1

18. 2

*Практические применения математических
формул и правил подразумевают
теоретические знания. Уравнения – это
довольно широкая в рамках школьной
дисциплины тема. По этой причине в
самом начале ее изучения нужно выучить
некоторый набор основ. К ним относятся
виды уравнений, их степени и подходящие
методы решения.
*2

19. 3

*Ученики средней школы, как правило,
решают примеры на использование одной
переменной. Самым простым видом
уравнения с одной неизвестной является
линейное уравнение. Например, х - 1 = 0,
3•х = 54. В этом случае нужно просто
перенести аргумент х в одну сторону
равенства, а числа – в другую, используя
различные математические действия:
х – 1 = 0 |+1; х = 1;
3•х = 54 |:3; х = 18.
*3

20. 4

*Не всегда линейное уравнение можно
выявить сразу. Пример (х + 5)² – х² = 7 + 4•х
тоже относится к этому виду, однако
выяснить это можно лишь после раскрытия
скобок:
*(х + 5)² – х² = 7 + 4•х
*х² + 10•х + 25 – х² = 7 + 4•х → 6•х = 18 → х =
3.
*4

21. 5

*В связи с описанной трудностью при
определении степени уравнения не следует
опираться на наибольший показатель
степени выражения. Сначала упростите его.
Старшая вторая степень является признаком
квадратного уравнения, которое, в свою
очередь, бывает неполным и приведенным.
Каждый подвид подразумевает свой
оптимальный метод решения.
*5

22. 6

*Неполное уравнение – это равенство вида х² = C, где C
– число. В этом случае нужно просто извлечь
квадратный корень из этого числа. Только не забудьте
про второй отрицательный корень х = -√C.
Рассмотрите несколько примеров уравнения,
приводимого к неполному квадратному:
*
Замена переменной:
* (х + 3)² - 4 = 0
* [z = х + 3] → z² - 4 = 0; z = ±2 → х1 = 5; х2 = 1.
*
Упрощение выражения:
* 6•х + (х - 3)² – 13 = 0
* 6•х + х² – 6•х + 9 – 13 = 0
* х² = 4
* х = ± 2.
*6

23. 7

* В общем виде квадратное уравнение выглядит так: A•х² +
B•х + C = 0, а метод его решения основывается на расчете
дискриминанта. При B = 0 получается неполное уравнение,
а при A = 1 – приведенное. Очевидно, что в первом случае
дискриминант искать не имеет смысла, к тому же это не
способствует увеличению скорости решения. Во втором
случае также существует альтернативный способ, который
называется теоремой Виета. Согласно ей сумма и
произведение корней приведенного уравнения связаны со
значениями коэффициента при первой степени и
свободного члена:
* х² + 4•х + 3 = 0
* х1 + х2 = -4; х1•х2 = 3 – соотношения Виета.
* х1 = -1; х2 = 3 – по методу подбора.
*7

24. 8

*Помните, что при условии целочисленного
деления коэффициентов уравнения В и С на
А, приведенное уравнение можно получить
из исходного. Иначе решайте через
дискриминант:
*16•х² – 6•х - 1 = 0
*D = B² – 4•A•C = 36 + 64 = 100
*х1 = (6 + 10)/32 = 1/2; х2 = (6 - 10)/32 = 1/8.
*8

25. 9

*Уравнения высших степеней, начиная от
кубического A•х³ + B•х² + C•х + D = 0,
решаются различными способами. Один из
них – подбор целых делителей свободного
члена D. Затем исходный многочлен делится
на двучлен вида (х + х0), где х0 –
подобранный корень, и степень уравнения
снижается на единицу. Точно так же можно
решать уравнение четвертой степени и выше.
*9

26. 10

*Рассмотрите пример с предварительным приведением
к общему виду:
*х³ + (х - 1)² + 3•х – 4 = 0
*х³ + х² + х – 3 = 0
*Возможные корни: ±1 и ±3. Подставьте их поочередно
и посмотрите, получится ли равенство:
*1 – да;
*-1 – нет;
*3 – нет;
*-3 – нет.
*10

27. 11

*Итак, вы нашли первое решение. После
деления на двучлен (х - 1) получается
квадратное уравнение х² + 2•х + 3 = 0. Теорема
Виета не дает результатов, следовательно,
вычислите дискриминант:
*D = 4 – 12 = -8 < 0.
*Школьники средних классов могут заключить,
что корень у кубического уравнения всего
один. Однако старшие ученики, изучающие
комплексные числа, легко определят
оставшиеся два решения:
*х = -1 ± √2•i, где i² = -1
*11

28. Как решить простое уравнение

*Как решить простое
уравнение

29.

Впервые с уравнениями сталкиваются
учащиеся начальной школы, сами того не
подозревая. Они логическим путем ищут
неизвестный член примера, подставляя
вместо него возможные варианты чисел.
Само же уравнение в том виде, которое
привычно для всех учащихся, немного
отождествлено, обобщено: неизвестное
число ищется сложнее и обозначается, как
правило, буквой латинского алфавита.

30. 1

* Пусть дано уравнение: 4х - 6 + 3х = 43. Это простое
уравнение, не имеющее в своем составе степеней.
Алгоритм решения линейного уравнения:- Перенести
известные члены (просто числа) уравнения в правую
часть от знака равенства, а неизвестные (все члены
содержащие букву) – в левую. У вас должно получиться
вот что: 4х+3х = 43+6. Кстати, при переносе члена в
противоположную сторону его знак меняется на
противоположный;- Сложить однородные члены (с
одинаковым основанием). У вас выйдет 7х=49.
Получиться пример, где среди трех составляющих
только одно неизвестно, прячущееся под знаком
«икс».Решить пример, чтобы найти «икс» - второй
множитель, нужно произведение разделить на первый
множитель: х=49:7, х=7. Ответ: x=7.
*1

31.

*Иногда уравнения упрощены: 5х= - 25. Тогда
для решения такого примера, просто
нужно решить произведение, найдя один из
множителей, учитывая математический знак
числа.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-26359-kakreshit-prostoe-uravnenie#ixzz2nRvk9vsO

32. Как решить уравнение с логарифмом

* Логарифмические уравнения - это
уравнения, содержащие неизвестную под
знаком логарифма и/или в его основании.
Простейшими логарифмическими
уравнениями являются уравнения вида
logaX=b, или уравнения, которые можно
свести к этому виду. Рассмотрим как
различные виды уравнения можно свести к
данному типу и решить.
*Как решить уравнение
с логарифмом

33. 1

*Из определения логарифма следует, что для
того чтобы решить уравнение logaX=b
необходимо совершить равносильный
переход a^b=x, если a>0 и a не равно 1, то
есть 7=logX по основанию 2, то x=2^5, x=32.
*1

34. 2

*При решении логарифмических уравнений часто
переходят к неравносильному переходу,
поэтому необходима проверка полученных
корней, путем подстановки в данное уравнение.
Например, дано уравнение log(5+2x) по
основанию 0,8=1, путем неравносильного
перехода, получается log(5+2x) по основанию
0,8=log0,8 по основанию 0,8, можно опустить
знак логарифма, тогда получается уравнение
5+2х=0,8, решая данное уравнение получаем
х=-2,1. При проверки х=-2,1 5+2х>0, что
соответствует свойствам логарифмической
функции (область определения
логарифмической области положительна),
следовательно, х=-2,1 - корень уравнения.
*2

35. 3

*Если неизвестное находится в основании
логарифма, то подобное уравнение
решается теми же способами. Например,
дано уравнение, log9 по основанию (x2)=2. Действуя также как и в предыдущих
примерах, получаем (х-2)^2=9, x^24x+4=9, x^2-4x-5=0, решая данное
уравнение X1=-1, X2=5. Так как основание
функции должно быть больше 0 и не
равно 1, то остается только корень X2=5.
*3

36. 4

* Зачастую при решении логарифмических уравнений
необходимо применять свойства логарифмов:
* 1) logaXY=loda[X]+loda[Y]
* logbX/Y=loda[X]-loda[Y]
* 2) logfX^2n=2nloga[X] (2n - четное число)
* logfX^(2n+1)=(2n+1)logaX (2n+1 - нечетное число)
* 3) logX с основание a^2n=(1/2n)log[a]X
* logX с основание a^(2n+1)=(1/2n+1)logaX
* 4) logaB=1/logbA, b не равен 1
* 5) logaB=logcB/logcA, c не равен 1
* 6) a^logaX=X, X>0
* 7) a^logbC=clogbA
* Используя данные свойства, вы можете свести
логарифмическое уравнение к более простому типу, а далее
решать уже вышеуказанными способами.
*4

37. Как решить неравенство логарифмов

* Логарифмическое неравенство - это
неравенство, содержащее в себе
логарифмы. Если вы готовитесь сдавать ЕГЭ
по математике, важно уметь решать
логарифмические уравнения и неравенства.
*Как решить неравенство
логарифмов

38. 1

*Переходя к изучению неравенств с
логарифмами, вы должны уже уметь решать
логарифмические уравнения, знать свойства
логарифмов, основное логарифмическое
тождество.
*1

39. 2

*Решение всех задач на логарифмы начинайте с
нахождения ОДЗ - области допустимых
значений. Выражение под логарифмом должно
быть положительным, основание логарифма
должно быть больше нуля и не равняться
единице. Следите за равносильностью
преобразований. ОДЗ на каждом шаге должно
оставаться одним и тем же.
*2

40. 3

*При решении логарифмических неравенств
важно, чтобы с двух сторон от знака
сравнения были логарифмы, причем с одним и
тем же основанием. Если с какой-либо
стороны представлено число, запишите его в
виде логарифма, применяя основное
логарифмическое тождество. Число b
равняется числу a в степени log, где log логарифм b по основанию a. Основное
логарифмическое торжество является, по
сути, определением логарифма.
*3

41. 4

*Решая логарифмическое неравенство,
обратите внимание на основание логарифма.
Если оно больше единицы, то при избавлении
от логарифмов, т.е. при переходе к простому
числовому неравенству, знак неравенства
остается тем же. Если основание логарифма
от нуля до единицы, знак неравенства
меняется на противоположный.
*4

42. 5

*Полезно помнить ключевые свойства
логарифмов. Логарифм единицы равен нулю,
логарифм числа a по основанию a равен
единице. Логарифм произведения равен сумме
логарифмов, логарифм частного равен
разности логарифмов. Если подлогарифменное
выражение возводится в степень B, то ее
можно вынести за знак логарифма. Если
основание логарифма возводится в степень A,
за знак логарифма можно вынести число 1/A.
*5

43. 6

*Если основание логарифма представлено
некоторым выражением Q, содержащим
переменную x, необходимо рассмотреть два
случая: Q(x) ϵ (1;+∞) и Q(x) ϵ (0;1).
Соответственно этому ставится и знак
неравенства при переходе от
логарифмического сравнения к простому
алгебраическому.
*6

44. Как решить квадратное неравенство

*Как решить квадратное
неравенство

45.

Решение квадратных неравенств и уравнений –
основная часть школьного курса алгебры. На умение
решать квадратные неравенства рассчитано
множество задач. Не стоит забывать и о том, что
решение квадратных неравенств пригодится
учащимся как при сдаче Единого Государственного
Экзамена по математике и поступлении в ВУЗ.
Разобраться же в их решении довольно просто.
Существуют различные алгоритмы. Один из наиболее
простых: решение неравенств методов интервалов.
Он состоит из простых шагов, последовательное
выполнение которых гарантировано приводит
учащегося к решению неравенства.
Метод интервалов на графике

46. Вам понадобится

*Умение решать
квадратные уравнения
*

47. 1

*Для того, чтобы решить квадратное
неравенство методом интервалов, сперва
нужно решить соответствующее квадратное
уравнение. Переносим все члены уравнения с
переменной и свободный член в левую часть,
в правой части остается ноль. Корни
квадратного уравнения, соответствующего
неравенству (в нем знак "больше" или
*"меньше" заменен на "равно") можно найти по
известным формулам через дискриминант.
*1

48. 2

*На втором этапе мы записываем неравенство в
виде произведения двух скобок (x-x1)(x-x2)<>0.
3Отмечаем найденные корни на числовой оси.
*Отмечаем найденные корни на числовой оси.
Далее мы смотрим на знак неравенства. Если
неравенство строгое ("больше" и "меньше"), то
точки, которыми отмечаем корни на
координатной оси пустые, в противном случае
("больше или равно").
*2

49. 3

*Берем число, левее первого (правого на
числовой оси корня). Если при подстановке
этого числа в неравенство, оно оказывается
правильным, то интервал от "минус
бесконечности" до самого малого корня
является одним из решений уравнения, наравне
с интервалом от второго корня до "плюс
бесконечности". Иначе решением будет
интервал между корнями.
*3

50. Обратите внимание

*
*Не ошибитесь при решении
соответствующего квадратного
уравнения - в данном случае вы
неправильно решите неравенство.

51. Полезный совет

*
*Не забывайте о том, строгое или
нестрогое неравенство решаете.
Если неравенство строгое, то
ставим круглые скобки (то есть не
берем в интервал корень
уравнения), иначе берем его в
промежуток (ставим квадратные
скобки).

52. Полезен ли совет?

*Полезен ли совет?