Свойства биссектрисы угла

1. Свойства биссектрисы угла

2.

Повторение (устно вспомни)
Определение биссектрисы угла
Признаки равенства
треугольников
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Расстояние от точки до прямой

3.

Решение задачи устно по готовому
чертежу
ОС – биссектриса угла АОВ, ОА = ОВ.
Доказать, что площадь ∆АОС равна
площади ∆ВОС.
А
О
1
2
С
В

4. Теорема

Каждая точка биссектрисы
неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.

5. Доказательство:

К
А
.М
1
2
Р
Рассмотрим
∆АКМ и ∆АРМ
1. АМ- общая,
2. ∟1= ∟2.
Значит, ∆АКМ=∆АМР
(по гипотенузе и
острому углу)
Следовательно,
МК = МР.

6. Теорема (обратная)

Каждая точка, лежащая
внутри угла и равноудалённая
от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.

7. Доказательство:

К
А
.М
1
2
Р
Рассмотрим
∆АКМ и ∆АРМ
1. АМ- общая,
2. КМ = МР (по условию)
Значит, ∆АКМ=∆АМР (по
гипотенузе и катету).
Следовательно
∟1= ∟2.
Отсюда,
АМ - биссектриса.

8.

Следствие:
Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной
точке.
B
D O
A
E
N
C

9.

Доказательство:
В
R
А
К
.О
F М
Е
L
С
В треугольнике АВС проведём
биссектрисы АЕ и ВF.
АЕ∩ВF=О
Проведём перпендикуляры:
ОК, ОL,
ОМ.
ОК= ОМ,
ОК=ОL.
Следовательно ОМ=ОL,
т.е. О равноудалена от
сторон угла АСВ.
Значит О лежит на
биссектрисе СR.

10.

Выучить:
Каждая точка биссектрисы
неразвёрнутого угла равноудалена от его
сторон
Каждая точка, лежащая внутри угла и
равноудалённая от сторон угла, лежит
на его биссектрисе
Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке

11. Проверка первичного усвоения (Решение задач по готовым чертежам)

1)
А
2)
P
M
4
2
1
Т
∟1=∟2,
МК= 4см.
МР=?
3)
К
А
РВ = РС,
∟ВАР = 25.
∟ВАС - ?
В
С
Р
E
.
S
F
ES=SF,
∟ETS =34 ,
∟ETF - ?
М
4)
Р
1
2
А
К
Чёрным проведены перпендикуляры
РА=10,
∟1=∟2,
∟2 =30,
МА=?

12. 5)

Вариант 1: ∟ВАN = ∟CAN=16,
∟AВE = ∟CBE=40. ∟ВCА = ?
B
N
D
A
E
C