Правильная пирамида

1.

2.

S
E1
D1
F1
C1
B1
А1
E
D
D
С
F
С
А
В
призма
А
В
пирамида

3.

S
Если ABCDE — правильный пятиугольник,
то SABCDE — правильная пирамида
SO — высота
SO ⏊ (ABCDE)
В
С
А
O
F
D

4.

P
PA1A2…An — правильная пирамида
А1Р — боковое ребро
ΔА1РО — прямоуг. треугольник:
А1Р — гипотенуза
А1О = R — катет
РН = h — катет
An
A1A2… An — правильный многоугольник ⇒
⇒ A1A2 = А2А3 = … = Аn-1An ⇒
ΔPA1A2 = ΔPА2А3 = … = ΔPАn-1An
О
R
⇒ A1P = A2P = A3P = … = AnP
Все боковые рёбра правильной
пирамиды равны
h
A1
A2
Боковые грани правильной пирамиды являются
равными равнобедренными треугольниками

5.

Все апофемы правильной пирамиды равны, а так же
все двугранные углы при основании равны
S
Доказательство:
SABCDE — пирамида
SAB, SBC, SCD, SDE, SAE — бок. грани
SAB, SBC, SCD, SDE, SAE — равноб. треугольники
ΔSAB = ΔSBC = ΔSCD = ΔSDE = ΔSAE ⇒
⇒ высоты (апофемы пирамиды) равны
ΔSОМ и ΔSОF — прямоугольные
(SO — высота пирамиды)
ΔSОМ = ΔSОF (SO — общая, SM = SF —
апофемы пирамиды) ⇒ SMO = SFO
SAEO = SCDO — двугранные углы (SMO, SFO —
линейные углы)
В
А
M
O
С
F
E
D

6.

АВ = ВС = CD = DE = EA — основания
F = F1 = … = Fn = d — апофемы
S
В
А
С
O
F
F
Fn
D

7.

S
Задача 1
Дано:
SABCD — правильная пирамида
SA^(ABC) = 60°
SA = 12 см
12 см
B
Найти: Sповерх.
Решение:
C
O
60°
A
P — периметр основания
SH — апофема, AD — ребро основания
2) ∆ASO: SO ⏊ (ABC) ⇒ ∠SAO = 60°
∠ASO = 90°– SAO = 90° – 60° = 30° ⇒
3) BD ⏊ AC, BO = AO = 6 см ⇒ ∆ABO — равноб.
H
D
4) SH ⏊ AD ⇒ ∆ABO — прямоуг.

8.

Задача 2
D
Дано:
DABC — правильная пирамида
h — высота
(ABC)^(DBC) = 45°
Найти: Sполн.
Решение:
1) DABC — правильная пирамида ⇒
⇒ О — центр равностороннего ΔАВС.
2) ОЕ ⏊ ВС, DE ⏊ BC ⇒ ∠DEO = 45°
3) Δ DOE — прямоуг.(∠DOE = 90°) равноб.
DO = OE = h
4) DО = ОЕ = r = h
AB = x ⇒
h
C
A
45°
O
E
B