Методы решений заданий (задачи с параметром). Метод областей в решении задач

1.

Методы решений
заданий
(задачи с параметром)
Метод областей в
решении задач

2.

Обобщённый метод областей
(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость)
Неравенства с
одной переменной
Метод интервалов:
1. Область определения
2. Корни
3. Ось
4. Знаки на интервалах
5. Ответ.
Неравенства с
двумя переменными
Метод областей:
1. Область определения
2. Граничные линии
3. Координатная плоскость
4. Знаки в областях
5.Ответ по рисунку.

3.

На координатной плоскости изобразите множество точек ,
координаты которых удовлетворяют неравенству(х – у) (х у –1) ≥ 0
Пример для понимания «метода областей»
Решение. На координатной плоскости нарисуем линии,
определяемые равенствами
х – у = 0 (у = х) и
у
х у - 1= 0 (у = 1/х), которые
разбивают плоскость на 6 областей.
3
При х = 1, у = 0 левая часть
1
2
4
неравенства равна -1(отрицательна)
-1
Следовательно, в 1 области,
0 1
х
содержащей точку (1; 0), левая
часть неравенства имеет знак
-1 1
5
минус, а в остальных областях её
знаки чередуются.
6
Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют
условию (х – у) (х у –1) ≥ 0

4.

Пример для понимания «метода областей»
На координатной плоскости изобразите множество точек,
х2 у 2
удовлетворяющих неравенству 2
0
2
х у 1
Область определения неравенства: х2 у 2 1 0 х2 у 2 1
Граничные линии:
х у 0 у х и х у 1 0
2
2
2
2
Проводим граничные линии, с учётом области определения
у
Они разбивают плоскость
на 8 областей
1
Определяем знаки на
+
областях подстановкой в
+
+
отдельных точках
-1
0
1
х
+
Ответ: заштрихованные области
на рисунке.
-1

5.

Метод областей при решении задач с параметрами
Графический прием
Ключ решения:
Свойства функций
Параметр – «равноправная» переменная отведем ему координатную ось
т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию a = f (x )
Общие признаки задач подходящих
под рассматриваемый метод
В задаче дан один
параметр а и одна
переменная х
Они образуют некоторые
аналитические выражения
F (x;a), G (x;a)
Графики уравнений
F(x;a)=0,G(x;a)=0
строятся несложно
1. Строим графический образ
Схема
решения:
2. Пересекаем полученный график прямыми
перпендикулярными параметрической оси
3. «Считываем» нужную информацию

6.

Найти все значения параметра р, при каждом из которых
множество решений неравенства (р – х 2 )(р + х – 2) < 0 не
содержит ни одного решения неравенства х 2 ≤ 1
Применим обобщенный метод областей.
2
1) Построим граничные линии р = х и р = 2 - х
р
2) Определим знаки в полученных
5
пяти областях, и укажем решение
данного неравенства.
2
3) Осталось из полученного множества
исключить
решения неравенства х 2 ≤р1= 3
.
3
│x│≤ 1,
-1<x<1
По рисунку легко считываем ответ
При р ≤ 0, р ≥ 3 в решениях
исходного неравенства нет
решений неравенства х 2 ≤ 1.
2
3
р=0
-1
0
1
1
х
1
2
4
Ответ: р ≤ 0, р ≥ 3

7.

х у а ,
2 у 2 1
х
Сколько решений имеет система
в зависимости от параметра а?
решений нет при
y
a 1
4 решения
при
а=1
Графиком
первого
уравнения является
8 решений
при
1 a с 2
семейство
квадратов
вершинами
4 решения
при в точках
а 2
а;0 , 0; а , а;0 , 0; а
решений нет при a 2 -2 2
Графиком второго уравнения
Ответ: решений нет, если
является неподвижная
a 1 или a 2
окружность с центром в начале
4 решения,
если
координат
и радиусом
1
2
2
1
a
a
a
0
a
-1
а 1 или а 2
2
8 решений, если
1 a 2
-2
1
x
2 2

8.

4 х 2 у 0
При каких положительных значениях
параметра а, система уравнений имеет х 2 у 2 а 2 4 х 1
ровно четыре решения?
4 х 2 у
Запишем
систему в виде:
2
2
2
(
х
2)
у
а
.
а
2
2
решений нет при
у
Построим графики обоих уравнений.
Шаги построения первого уравнения:
4 решения при
2
а 2 2
Строим уголок у 4 х 2 , затем
у 4 х 2
и
симметрично
отображаем
относительно
8 решений при
2 2 a 4. оси
абсцисс.
-2
0
2
Второе уравнение задает семейство
окружностей
с центром (2;0) и
4 решения при
а 4
радиусом а.
Итак:
при а 2 2 решений нет; при а 2 2 и а 4 система имеет 4 решения;
система имеет 8 решений при 2 2 a 4.
Ответ: а 2 2 и а 4
х

9.

При каких значениях параметра а сумма log a (cos 2 x + 1) и
log a (cos 2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении х?
Решение. Рассмотрим сумму данных выражений
log a (cos 2 x + 1) + log a (cos 2 x + 5) = 1; заметим, 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
у
Пусть сos 2 x + 1= t; t ϵ [1; 2];
тогда уравнение примет вид
log a (t∙(t + 4)) = 1; откуда
12
у=а
t 2 + 4t = a
Построим в прямоугольной
системе координат график
у=а
5
2
функции у (t) = t + 4t,
учитывая, что t [1;2]
t
и прямые у = а
-4
2
0 1
Сумма данного выражения равна 1, при
пересечении параболы с горизонтальной
прямой . По рисунку «считываем» ответ:
5 ≤ а ≤ 12
Ответ: при всех a [5;12]

10.

Найдите все значения параметра а, при которых количество
корней уравнения (5 - а) х 3 – 4 х 2 + х = 0 равно количеству
общих точек линий х 2 + у 2 = а 2 и у = 5 - │х - 1│
нет решение при а 2 2
решение при
приуа
11 решение
а 5 22х2 21
Уравнение
у
задает неподвижный угол с
2 2 а 3 2
2вершиной
решения при
(1;5)
3 решения при х
а
у 3 2а
Уравнение
задаёт семейство
4 решения при 3 2 а 26
окружностей
с центром в
начале
координат и
3 решения при а 26
радиусом r а .
2
2
5
2
2 реш. при а 26, a 26
2
Построим
a1 OA эскизы
22 2этих
2линий
2
и определим из рисунка
2
2
a
OB
3
3
3точек.
2
количество
их общих
2
a3 OC 12 52 26
А
С
В
3
2
х
-2
О
1
3

11.

Запишем первое уравнение в виде х (5 - а) х 2 – 4 х + 1)= 0
Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а.
Уравнение (5 - а) х 2 – 4 х + 1 = 0 может иметь 0, 1 или 2
решения в зависимости от параметра а и D = 4(a – 1).
одно решение
первое уравнение
совокупность
линий
a 1
два решения
а = 5; а = 1
три решения
a 1
а 2 2
3 2 a 2 2, а 3 2, а 26
а 2 2
2 2 a 3 2,
а 3 2,
а 26, a 26
а 26
Осталось заметить, что условие задачи выполняется только в
трех точках при а 2 2, а 3 2 и a 26
Ответ:
а 2 2, а 3 2 и a 26