Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

1. Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

2.

1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция
f(x, y, z) ≡ 1, то из определения
КРИ-1 следует, что он равен
длине кривой, по которой
ведется интегрирование:
l ds.
l

3.

2) Масса кривой.
Если подынтегральная функция
γ (x, y, z) определяет плотность
в каждой точке кривой, то массу
кривой можно найти по формуле
M ( x, y, z )ds.
l

4.

• 3) Моменты кривой l:
статические моменты плоской
кривой l относительно осей Ох и
Оу:
M x y ( x, y)ds, M y x ( x, y, z )ds
l
l

5.

момент инерции
пространственной кривой
относительно начала координат:
I 0 ( x y z )ds
2
2
2
l
моменты инерции кривой
относительно координатных
осей:
I x ( y 2 z 2 )ds, I y ( x 2 z 2 )ds, I z ( x 2 y 2 )ds
l
l
l

6.

4) Координаты центра масс
кривой вычисляются по
формулам
xc
zc
x
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
z
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
, yc
y
(
x
,
y
,
z
)
ds
l
M
,

7.

F {P, Q, R} ,
• 5) Работа силы
действующей на точку,
движущуюся по кривой (АВ):
Pdx
Qdy
Rdz
F
d
r
( AB )
( AB )

8.

Пример. Найти массу кривой
с
линейной плотностью ,
2
заданной в полярных
координатах уравнением ρ = 4φ,
где
3
3
.

9.

• Решение.
2
M ( ), d
2
2
1
2
3
4
3
4
4 2 1d
2
3
8 2
1d( 1) 1
3
2
2
3
2
2
3 3
2
3
3
3
8
2
2
2
2
4 9 9 .
81

10.

• Пример. Вычислить работу
2 3
2 3
векторного поля F x y , y z , xyz
вдоль отрезка прямой от точки
А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

11.

• Решение. Найдем канонические
и параметрические уравнения
прямой АВ:

12.

y y1
x x1
z z1
x 2 y 3 z 1
t
t,
x2 x1 y 2 y1 z2 z1
3
7
1
x 3t 2, dx 3dt ;
y 7t 3, dy 7 dt ;
z t 1, dz dt.
A
Fx dx Fy dy Fz dz
( AB )
1
t( A) 0,
t( B) 1
x 2 y 3dx y 2 z 3dy xyzdz
( AB )
3 3t 2 7t 3 7 7 t 3 t 1 3t 2 7 t 3 t 1 dt
2
3
2
3
0
1
5
4
3
2
9604
t
6056
t
25305
t
8177
t
993t 261 dt
0
1
9604t
6056t
25305t
8177 t
993t
261t 4225, 55.
5
4
3
2
6
0
6
5
4
3
2

13.

Пример. Вычислить длину
астроиды

14.

• Решение. В силу симметрии,
достаточно вычислить длину
кривой, лежащей в первом
квадранте, и затем умножить
результат на 4. Уравнение
астроиды в первом квадранте
имеет вид

15.

16.

Пример. Найти длину астроиды
x=a
3
cos t,
y=a
3
sin t

17.

• Решение. Воспользуемся
формулой
В нашем случае

18.

19.

Поскольку кривая симметрична
относительно осей координат, то

20.

• Пример. Найти длину циклоиды,
заданной в параметрическом
виде вектором
в интервале

21.

22.

Решение. Воспользуемся
формулой

23.

• Производные:

24.

25.

• Пример. Найти длину
кардиоиды, заданной в
полярных координатах
уравнением r 5(1 cos )

26.

27.

• Решение. Используем
соотношение
В силу симметрии кардиоиды
достаточно найти половину ее
длины, а затем удвоить
полученный результат.

28.

dr
r
(5(1 cos )) 5 sin
d
Длина кардиоиды выражается в
виде

29.

L (5(1 cos )) ( 5 sin ) d
2
2
0
5 1 2 cos cos sin d
2
2
0
0
0
5 2 2 cos d 5 2(1 cos ) d

30.

5 2 2 cos
0
2
2
d 10 cos
0
2
2
d
Так как cos 2 0 при 0 , то
cos
2
2
cos
2
cos
2
Окончательно находим длину:

31.

L 10 cos
0
2
d 10 cos d
2
2
0
20 cos d 20 sin
2
2
2
0
0
20 sin sin 0 20(1 0) 20
2

32.

• Длина всей кардиоиды равна
2L 2 20 40

33.

• Пример. Найти площадь
области, ограниченной
гиперболой
, осью Ox и
вертикальными прямыми
x = 1, x = 2.

34.

35.

• Решение. Вычислим площадь с
помощью криволинейного
интеграла.
Найдем отдельно каждый из
интегралов.

36.

37.

• Следовательно, площадь
заданной области равна

38.

• Пример. Найти статические
моменты дуги однородной
астроиды
относительно осей координат.

39.

• Решение. Дуга астроиды
однородна, следовательно,
плотность в каждой точке
постоянна. Пусть
. Запишем
уравнение астроиды в
параметрическом виде
• где

40.

41.

• По условию
следовательно,
dl = 3a sin t cos t dt

42.

43.

44.

45.

46.

47.

• Построим кривую
r(θ) = 3 – 2 cos θ

48.

49.

50.

• Построим кривую
r(θ) = 1+ 2 cos θ

51.

52.

53.

• Построим кривую
r(θ) = 3 – sin θ

54.

55.

56.

• Построим кривую
r(θ) = 3 cos (3θ)

57.

58.

59.

• Построим кривую
r(θ) = 5 sin (2θ)

60.

61.

62.

• Построим кривую
r(θ) = θ

63.

64.

65.

• Построим кривую
r(θ) = cos θ