Дифференциальная геометрия

1. Дифференциальная геометрия

[ вектор-функция скалярного аргумента – дифференцирование вектор-функции – годограф – соприкасающаяся
плоскость – главная нормаль и бинормаль – кривизна линии – кручение линии – основные формулы дифференциальной
геометрии – формулы Френе и сопровождающий трехгранник – длина дуги линии – плоские линии – приложения из
механики – примеры ]

2.

Переменный вектор R называется функцией скалярного аргумента t , если
каждому значению скаляра t из области
допустимых значений соответствует
определенное значение функции R ( t ) .
z
Годограф
v (t )
M(x,y,z) = M(x(t),y(t),z(t)) = M(t)
R(t )
R ( t ) i Rx ( t ) j Ry ( t ) k Rz ( t )
O
Предел вектор-функции
lim R ( t ) A
t T
t T R ( t ) A ( )
O
Непрерывность вектор-функции
x
y
lim R ( t ) R (T )
t T

3.

|
R
Производной вектор-функции R ( t ) называется предел R ( t ) lim
t 0 t
R R ( t t ) R ( t )
|
R (t )
z
M(t)
t
0
R
R d R
lim
t 0 t
t
dt
R
|
|
|
R ( t ) i Rx ( t ) j Ry ( t ) k Rz| ( t )
R(t )
t
R
Механический смысл производной
M(t + t)
M(t)
O
x
R ( t t )
y
dR
v (t )
dt
R(t )
R
O
M(t + )
R ( t t )

4.

Правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента
совпадают с правилами дифференцирования для скалярных функций, но
учитывают то, что функции векторные.
|
|
|
( u v w )| u v w
|
|
( u v ) u v u v
|
( u ) | | u u
|
|
( u v ) u v u v
|
|
Свойство инвариантности d R ( s ( t )) R
t
|
dt R
|
|
s dt R ( s ) ds
|
t
( t ) 2 ||
R ( t t ) R ( t )
R (t )
R ( t ) .....
1!
2!
( t ) n
(n)
n
R ( t ) ( t ) ( i n j n k n )
n!
t
s
|
s
( R ( s ( t )) R st |
|
Дифференциал d R ( t ) R ( t ) dt
Формула Тейлора
|
|

5.

@ Найти производную вектор-функции
построить годограф для 0 t 4
Решение
r ( t ) i a cos t j a sin t k ht
r ( t ) i a cos t j a sin t k h t и
x a cos t
y a sin t
z ht
0 t 4
|
r (t ) a 2 h2
z
r ( t ) a 2 (cos 2 t sin 2 t ) h 2t 2 a 2 h 2t 2
d r ( t ) d cos t d sin t dt
ia
ja
kh
dt
dt
dt
dt
|
r ( t ) i a sin t j a cos t k h
r( 0) a
O
y
x
r ( 4 ) a 2 16 2h 2

6.

Кривая (линия) может быть представлена как траектория точки M – конца
вектора-функции скалярного аргумента, т.е. как годограф вектор-функции
r( t ) i x( t ) j y(t ) k z (t )
Касательной к линии в данной точке
называется предельное положение секущей, z
проходящей через данную точку M и
бесконечно близкую к ней точку линии.
r
t
1!
|
r (t )
t
1!
t r ( t )
t 1
M
r
r(t )
1( t )
O
x
M1
r ( t t )
Соприкасающейся плоскостью кривой в
точке M называется предельное
положение плоскости, проходящей через
касательную в данной точке M и через
бесконечно близкую к ней точку.
|
y
x ( t )
y ( t )
z ( t )
a t b

7.

|
||
Теорема Производные первого r ( t ) и второго порядков r ( t ) для r ( t )
располагаются в соответствующей соприкасающейся плоскости..
r
t
|
r (t )
1!
lim 2 ( t ) 0
t 0
||
t 2
2!
||
[ r ( t ) 2 ( t )]
|
t r ( t )
z
t 1
M
r
2
|
r ( t ) 2
[
r
t
r
( t )]
t 2
r(t )
Таким образом вектор r || ( t ) 2
M1
|
разлагается по векторам r и r ( t ) ,
||
O
x
r ( t ) 2
которые лежат в соприкасающейся
плоскости.
y

8.

Всякая прямая, проходящая через данную точку M пространственной кривой
и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью.
Главной нормалью называется нормаль,
которая лежит в соприкасающейся
плоскости.
B
z
Бинормалью называется нормаль, которая
перпендикулярна вектору касательной и
главной нормали.
M
r(t )
T r|(t )
|
||
B r (t ) r (t )
|
||
|
N [ r ( t ) r ( t )] r ( t )
T
x
O
N
y

9.

Кривизной K линии в данной точке M называется предел угла поворота
касательной при переходе из M в бесконечно близкую точку M1 , отнесенный
к бесконечно малой длине дуги | s| , заключенной между этими точками
K lim
s 0
s
z
M
Радиусом круга кривизны называется
1
R
K
радиус окружности, которая касается
M1
T
линии (лежит в соприкасающейся
плоскости) и радиус которой связан с
1
R
кривизной соотношением
K
1
K
lim
lim
s R
s 0 s
s 0 R
R
x
O
y
T

10.

Кручением Т линии в данной точке M
z
пространственной кривой называется
взятый с надлежащим знаком предел угла
B
поворота соприкасающейся плоскости
y
(вектора бинормали) при переходе из M в
B
M
бесконечно близкую точку M1 , отнесенный к
бесконечно малой длине дуги| s| ,
M1
заключенной между этими точками
y
T lim
s 0 s
x
O
y

11.

Вектор-функция может быть представлена как функция дуги годографа :
r ( t ) r ( s ( t ))
d r d r ds
dt
ds dt
s s ( t ) s : s ( t ) s ( t ) r ( s )
dr
dr
dr
1 d r ds
ds
ds
ds
z
d r ds dx 2 dy 2 dz 2
d r ds x ( t )
|2
Орт касательной
y(t )
|2
( s )
A
|2
z ( t ) dt
r (t )
Первая основная формула
d r d r ds
d r ds ds
dt
ds dt
dt
dt
dr
dr
ds
O
x
B
r (t )
y

12.

Орт главной нормали
Геометрический смысл модуля
Рассмотрим производную
d
lim
lim
s 0 s
s 0
ds
d
.
ds
2 sin
s
Направление вектора
2 lim
s 0
d
d
2
0
ds
ds
d
N
||
ds
N
d
ds
( s )
?
?
2 lim
s s 0 s
2
1d
K ds
т
1
sin
d
ds
M(s)
d
lim
K
s 0 s
ds
2 sin
2
( s )
M(s+ s)
Вторая основная формула
( s s )
d
K
ds

13.

d ?
( s s )
Направление вектора
Орт бинормали
( s )
ds
Найдем орт
d
?
бинормали
ds
d
d
d
0
1 2
d
ds
ds
ds
T
ds
d
d
d d d
d
K
T
ds
ds
ds
ds
ds
0
ds
т
т
d
d
||
Геометрический смысл ? Третья основная формула
ds
ds
( s )
y
y
d
2
sin
T lim
T
s 0 s
ds
2
y
d
lim
lim
s 0 s
s 0
ds
2 sin
s
y
2 lim
s 0
sin
y
2 y lim y
y
s s 0 s
2
( s s )

14.

Сопровождающим
трехгранником,
связанным с точкой M
пространственной
кривой, называется
трехгранник, ребрами
которого являются
касательная, нормаль и
бинормаль.
M
d
K
ds
dr
ds
d
T K
ds
Формулы Френе
d
d d
ds
ds
ds
d
K T
ds
d
T
ds

15.

@
Найти кривизну и кручение кривой - годографа вектор-функции
K
d
ds
z
ds d r a h dt
dr
ds
2
2
d
d
ds
i a sin t j a cos t k h
a2 h2
i a cos t j a sin t
a h
2
2
z
d r ( i a sin t j a cos t k h ) dt
r ( t ) i a cos t j a sin t k h t
Решение
dt
a 2 (cos 2 t sin 2 t )
a
a2 h2
a2 h2
dr
ds
a
K 2
a h2
x
x
y
O
y

16.

r ( t ) i a cos t j a sin t k h t
@
a2 h2
a sin t
a cos t
h
cos t
sin t
0
j
i h sin t j h cos t k a
a h
2
2
i
1
1d
i cos t j sin t
K ds
d
T
ds
zz
T ?
k
d
i h cos t j h sin t
a h
2
2
dt
xx
h
d
( i cos t j sin t ) ( i h cos t j h sin t )
T
2
a h2
ds
a2 h2
O
K
T
yy
a
a2 h2
h
a2 h2

17.

Длиной L дуги линии называется предел длины
вписанной в неё ломанной при условии, что число
звеньев ломанной неограниченно возрастает, а
максимум их длин стремится к нулю:
n
z
L lim r ( tk ) r ( tk 1 ) t0 ,tn
n
k 1
n
L lim r k
n
L
( L)
k 1
dr
( L)
A
ds
( L)
d r r dt
|
O
L x | ( t ) y | ( t ) z | ( t ) dt
r (t )
2
2
2
x
B
r (t )
y

18.

d
d
dr
d
Основные уравнения:
K
0 T
K
ds
ds
ds
ds
r(t) i x ( t ) j y ( t )
y
r
M
i
0
i cos j sin
Кривизна плоской линии
j
x
K
d
d
d
i sin j cos
ds
ds
ds
d
K
ds
x y y x
x y x y
1
d
dt 2
dt
2
2
2
x
x
y
y
1
x
y arctg y
tg ( )
x
x
ds d r x 2 y 2 dt
K
x y y x
( x y )
2
2
3
2
K
y ||
(1 y
|2
)
3
2

19.

Скорость
точки
r(t) i x ( t ) j y ( t )
Ускорение точки
d r(t) d r ds ds
v (t )
v
dt
ds dt
dt
ds
d
2
d v (t )
ds d
dt d s
w(t )
dt
dt
dt 2
dt dt
y
d 2s
ds
w(t )
K
2
dt
dt
w ( t ) wT w N
M
2
d 2s
w ( t ) wT w N wT
dt 2
ds
wN K
dt
ds
d d ds
K
dt
ds dt
dt
d r
dt 2
2
r(t )
2
0
v (t ) v
x