Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

1.

Решение краевых задач
для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка

2.

Краевые задачи для ОДУ второго порядка
y (x )
y (x )
дважды непрерывно дифференцируемая функция
y p( x ) y q( x ) y f ( x ), a x b
линейное неоднородное ОДУ
y ( a ) ya , x a
2-го порядка
y ( b) y , x b
b
Принципиальным отличием краевой задачи от задачи Коши для ОДУ
является задание дополнительных (краевых или граничных) условий
более чем в одной точке независимой переменной (в задаче Коши
дополнительные условия задаются в одной точке, называемой
начальной).
Если на границах х = а и х = b заданы значения искомой функции у(а),
у(b), то такие условия называются граничными условиями первого
рода, а задача называется первой краевой задачей для ОДУ.

3.

Краевые задачи для ОДУ второго порядка
y (a ) ya
y (b) yb
граничные условия 2 рода
Вторая краевая задача
Если на границах заданы линейные комбинации искомой
функции и ее первой производной:
y (a ) y ( a ) ya граничные условия 3 рода
y (b) y (b) yb Третья краевая задача
Чаще всего на разных границах задаются граничные условия
различных родов. Такие задачи называют краевыми задачами со
смешанными краевыми условиями.

4.

Конечно-разностный метод
h xi ih, i 0...n
конечно-разностная сетка с шагом h
yi 1 yi 1
O (h 2 ), i 1 n 1
2h
y 2 yi yi 1
2
yi i 1
O
(
h
), i 1 n 1
2
h
yi
pi p( xi ), qi q( xi ),
f i f ( xi ), i 1 n 1
yi 1 2 yi yi 1
yi 1 yi 1
2
p
q
y
f
O
(
h
), i 1 n 1
i
i
i
i
2
h
2h
y0 y a , i 0
y n yb , i n
ai yi 1 bi yi ci yi 1 d i , i 1 n 1
1
pi
ai 2
h
2h
2
bi 2 qi
h
СЛАУ с трехдиагональной матрицей:
1
pi
ci 2
h
2h
di fi

5.

Результирующая система линейных уравнений
Метод прогонки
b1 y1 c1 y2 d1 a1 ya
.....................................
ai yi 1 bi yi ci yi 1 d i , i 2 n 2
.....................................
an 1 yn 2 bn 1 yn 1 d n 1 cn 1 yb
Прогоночные коэффициенты в прямом ходе определяются с помощью выражений
c1
A1
b1
ci
Ai
bi ai Ai 1
B1
d1
b1
Bi
d i ai Bi 1
bi ai Ai 1
An 1 0
Bn 1
i 2 n 2
d n 1 an 1Bn 2
bn 1 an 1 An 2
Обратный ход метода прогонки
yi Ai yi 1 Bi
i n 1, n 2 1

6.

Схема со вторым порядком аппроксимации краевых
условий, содержащих производные
h2
y1 y ( x0 h ) y0 y0 h y0 O ( h 3 )
2
y0 f 0 p0 y0 q0 y0
y0
y 1 y0 h
( f 0 p0 y0 q0 y0 ) O (h 2 )
h
2
y0
2
y 1 y0
h
( f 0 q0 y0 ) O (h 2 )
2 p0h h
2 p0h

7.

Схема со вторым порядком аппроксимации краевых
условий, содержащих производные
y ( a ) y ( a ) ya
2
y 1 y0
h
( f 0 q0 y0 ) y0 ya O (h 2 )
2 p0h h
2 p0h
b0 y0 c0 y1 d 0
b0
2
q0h
h(2 p0h ) 2 p0h
c0
2
h(2 p0h )
d 0 ya
hf 0
2 p0h
d n yb
hf n
2 pn h
y (b) y (b) yb
an yn 1 bn yn d n
an
2
h( 2 pn h )
bn
2
qn h
h(2 pn h ) 2 pn h
Система из n+1 уравнения с трехдиагональной матрицей
Можно применять метод прогонки