Системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1. Линейная алгебра

Системы из n линейных уравнений с n
неизвестными.
Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений

2. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим общую квадратную систему линейных уравнений:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b 2
an1x1 an 2 x 2 ann x n bn
Система линейных уравнений называется совместной, если она
имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение и неопределенной, если она имеет
бесконечное множество решений.
Система называется однородной, если b1 b2 bn 0
Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое
решение.

3. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

Для сокращения выкладок запишем систему из трех уравнений с
тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Вспомогательные определители получаются из главного
определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом
свободных членов:
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
1 b 2 a 22 a 23
2 a 21 b 2 a 23
3 a 21 a 22 b 2
b 3 a 32 a 33
a 31 b 3 a 33
a 31 a 32 b 3

4. Системы из n линейных уравнений с n неизвестными

По величине главного и вспомогательных определителей можно
судить о характере системы:
Если
0 то система совместна и определенна.
Если 0, 1
неопределенна.
2 3 0
Если 0, но 1 0 или
система несовместна.
то система совместна и
2 0
или
3 0
то
В общем случае будем иметь n +1 определителей n – ого порядка
, 1, 2 , 3 , , n 2 , n 1, n
и, если 0 , то решение системы находится по формулам
Крамера:
1
x1 ;
2
x2
;
n
xn

5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений
размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: A X B
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 b 2
a a a a x b
mn n
m
m1 m 2 m 3
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
B A B
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
Если закрепить раз и
навсегда нумерацию
неизвестных, то можно
опустить неизвестные в
записи системы и
записать ее в виде
матрицы, отделяя
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
Расширенная матрица
системы

6. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Следующие действия над расширенной матрицей системы
называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
b1
b2
b 3
1 c 12
0 1
0 0
c 13
c 23
1
d1
d2
d3

7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

5 x 2y 4z 5
2x 3 y z 7
3 x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
на (-2)
умноженную
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).

8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1 8 6 9 4
0
~
0 1 2
0 4 3 5
x 1 y 2
1 8 6 9
: 5
0 1 2 0
~
строке
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
разделим на 5
1 8 6 9
0 1 2 0
0 0
1
1
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
z 1
( 1)
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1

9. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a 32
31
am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n
aa1111 a12 aa131n
a 2n
a1112 aa121n
22aa 3121 a 3222 aa233n
M33M
a3n M
a2132 aa223n
aam311 aam322 a 33mn
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k - того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель,
полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

10. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
2
18 миноров 2 - го порядка, например:
3
0 2
4
0 2 3 20
Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
2
3
0
4
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3
2
2

11. Ранг матрицы

Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется
базисным минором. Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют
ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы,
ее приводят к треугольному виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду
1 3 2
A 0 5 4 ~
1 7 6
1 3 2 ( 2)
0 5 4
~
0 10 8
r( A ) 2
1 3 2
0 5 4
0 0 0

12. Исследование систем линейных уравнений

Теорема Кронекера - Капелли.
Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений
была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы
системы равнялся рангу
матрицы коэффициентов: r (B) r ( A )
Если r(B) r( A ) n (числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
Если r(B) r( A ) n ,то система совместна и неопределенна
(имеет бесконечное множество решений).
Если r (B) r ( A ) ,то система несовместна (не имеет решений).
При решении систем линейных алгебраических уравнений нет
необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной
матриц. Их определение производится автоматически при
выполнении метода исключения Гаусса.

13. Исследование систем линейных уравнений

2x1 2x 2 2x 3 4
x1 x 2 x 3 0
3 x1 3 x 2 x 3 2
x1 x 2 3 x 3 2
2 2 2 4
:2
1 1 1 0
3 3 1 2 ~
1 1 3 2
1 1 1 2 ( 3)
1 1 1 0 V
~
3 3 1 2
1 1 3 2
: ( 2)
1
0
0
0
2
0 2 2
0 4 4
0 4
4
1
1
: ( 4)
V : 4
~

14. Исследование систем линейных уравнений

1
0
0
0
1 1 2
0 1 1 V
~
0 1 1
0 1 1
r(B) r( A ) 2
1
0
0
0
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
система совместна
n 3 - число неизвестных
r(B) n система неопределенна
n r 3 2 1 - число свободных переменных
Восстановим систему:
Пусть x 2 t.
x1 1 t
x 1 2 t x 3 1 t
x1 t x 3 2
x2 t
x3 1
x3 1
x 1
3

15. Исследование систем линейных уравнений

x 2y 4z 1
2 x y 5z 1
x y z 3
1 2 4 1
2 1 5 1
1 1 1 3
( 2)
~
1 2 4 1 1 2 4 1
~
0 3 3 3
0 3 3 3
0 3 3
0 0
2
0
5
r(B) 3
r( A ) 2
r(B) r( A ) система несовместна

16. Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все
свободные члены ее равны нулю.
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n 0
am1x1 am 2 x 2 amn x n 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0
x 2 0 xn 0
Это решение называется тривиальным. Оно является
единственным решением системы в случае, когда r( A ) n
Если r( A ) n , то система имеет бесконечное множество
решений.

17. Однородные системы линейных уравнений

Пусть: r( A ) r n
Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1( t1,..., t n r )
...
x r ( t1,..., t n r )
X
t1
...
t n r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Значения свободных
переменных
t1 xr 1; t 2 xr 2 ; tn r xn

18. Однородные системы линейных уравнений

Выберем n - r частных решений однородной системы, полученных
из общего решения следующим образом: полагаем одно из
значений свободных переменных равным 1, а остальные равными
0 :
x1(1,0,..., 0)
x1(0,0,...,1)
x1(0,1,..., 0)
x r (0,0,...,1)
x r (1,0,..., 0)
x r (0,1,..., 0)
0
1
0
X
X1
X2
n r
0
0
1
1
0
0
Эти решения образуют фундаментальную систему решений
однородной системы (ФСР).

19. Однородные системы линейных уравнений

Найти фундаментальную систему решений:
1 1 5 7 ( 3)
1
~
2 1 4
3 2 1 6
x1 x 2 5 x 3 7 x 4 0
2x1 x 2 4 x 3 x 4 0
3 x 2x x 6 x 0
2
3
4
1
1 1 5 7
~
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
( 2)
1 1 5 7 ( 1)
~
0 1 14 15
0 0
0
0
r( A ) 2
n 4
n r 4 2 2 - число свободных переменных

20. Однородные системы линейных уравнений

Обозначим:
x 3 t1
x4 t2
(в качестве свободных переменных обычно берут те,
которые имеют 0 на главной диагонали)
x 1 x 2 5t 1 7t 2 0
x 2 14t1 15t 2 0
x1 x 2 5t 1 7t 2
x 2 14t1 15t 2
x1 14t1 15t 2 5t1 7t 2 11t1 12t 2 Фундаментальная
система решений
x 2 14t1 15t 2
11t1 12t 2
14t 1 15t 2
X
t1
t
2
11 решение
12
Общее
15
14
X2
X1
0
1
1
0