Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

2.

• Системой m линейных уравнений с n
неизвестными х1, х2, …, хn называется система
вида
(*)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...........................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
aij - коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n
bi - свободные члены.

3.

• Решением системы (*) называется такой набор
чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в
систему вместо соответствующих неизвестных
(с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из
уравнений системы обращается в тождество.

4.

Система линейных уравнений
Совместная
Несовместная
(имеет хотя бы одно решение)
(не имеет ни одного решения)
Определённая
(имеет единственное решение)
Неопределённая
(имеет более одного решениябесконечное множество решений)
В случае неопределённой системы каждое её решение
называется частным решением системы. Совокупность
всех частных решений называется общим решением.

5.

• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной; в противном случае она
называется неоднородной.
• Две системы называются эквивалентными или
равносильными, если любое решение одной из
них является также решением другой, т.е. если
они имеют одно и то же множество решений.
(любые две несовместные
эквивалентными)
системы
считаются

6.

• Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования:
- перестановка уравнений системы;
- умножение или деление коэффициентов и свободных
членов на одно и то же число, отличное от нуля;
- сложение и вычитание уравнений;
- исключение из системы тех уравнений, в которых все
коэффициенты и свободные члены равны нулю.

7.

• Систему (*) можно записать в матричной форме: АХ=В,
где
матрица коэффициентов системы;
a11
a 21
A
...
a
m1
a12
a 22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
x1
матрица-столбец
x2
X (вектор-столбец)
неизвестных
x
n
b1
b2
B
b
m
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов

8.

• Расширенной матрицей системы (*) называется
матрица
a11
a21
A B
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
А
... a1n b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bm
В

9. Исследование системы линейных уравнений.

• Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений (*) совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы
системы:
rang ( A) rang ( A B )

10. Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы- выяснить, является

ли она
определенной или нет.
1) Если rang(A)≠rang(A B), то система несовместна.
2) Если rang(A)=rang(A B)=n (где n- число неизвестных), то
система совместна и определённа (имеет единственное
решение).
3) Если rang(A)=rang(A B)<n (где n- число неизвестных), то
система совместна и неопределённа (имеет бесконечное
множество решений).

11. Правила решения произвольной системы линейных уравнений.

Найти ранги основной и расширенной матриц
системы. Если rang(A)≠rang(A B), то система
несовместна.
Если rang(A)=rang(A B)=r, то система совместна.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r
уравнений, из элементов которых составлен базисный
минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в
базисный минор, называют базисными или главными,
а остальные n-r неизвестных называют свободными.

12.

Выразить базисные (главные) неизвестные через
свободные.
Придавая свободным неизвестным произвольные
значения,
получим
соответствующие
значения
базисных (главных) неизвестных. Таким образом
находим частные решения исходной системы
уравнений.

13. 3. Метод Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных)
Систему уравнений приводят к эквивалентной ей
системе с треугольной матрицей (к ступенчатому
виду).
Из полученной треугольной системы переменные
находят с помощью последовательных подстановок.

14.

1. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 x2 x3 x4 4
2 x x 3x 2 x 1
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6
3 x1 x2 x3 x4 0

15.

Прямой ход
x1 x2 x3 x4 4
2 x x 3 x 2 x 1
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6
3x1 x2 x3 x4 0
1 1 1 1
2 1 3 2
1 0 1 2
3 1 1 1
4
1
6
0
×(-2)
×(-1)
×(-3)
→

16.

1 1 1 1 4
0 3 5 4 7
0 1 0
1 2
0 4 4 4 12 : (-4)
→
1
0
0
0
1 1
1 1
0 1
0
2
→
1 4
1 3
2 5 ×2 : (-1)
1 2
1 1 1 1
0 1 1 1
0 1 0
1
0 3 5 4
→
1
0
0
0
4
×3
3
+
2
7
1 1 1
1 1 1
0 1 2
0 0
3
4
3
5
12
А
A B
rang(A)=rang( A B)=4=n
система совместна и имеет
единственное решение

17.

обратный ход
x1 x2 x3 x4 4
x2 x3 x4 3
x3 2 x4 5
3x4 12
x4 4
x 2 x 5
3
4
x 2 x3 x 4 3
x1 x2 x3 x4 4
x4 4
x 3
3
x2 2
x1 1
Ответ: (1; 2; 3; 4)

18.

2. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
6 x 3 x 3x x 9
1
2
3
4
7 x1 x2 x3 2 x4 8
3x1 9 x2 9 x3 10 x4 12

19.

x1 2 x2 2 x3 3x4 1
6 x 3 x 3x x 9
1
2
3
4
7 x1 x2 x3 2 x4 8
3x1 9 x2 9 x3 10 x4 12
1
2
2
3 1
6 3 3 1 9
7 1
1 2 8
3 9
9
10
12
×(-6) ×7
×3
→

20.

→
1 2
2
3
0 15 15 19
0 15
15
19
0 15
15
19
1
15
15
15
+ →
rang(A)=rang(A B)=2<(n=4)
базисный минор порядка r =2:
1 2
2
3
0 15 15 19
0 0
0
0
0 0
0
0
1
15
0
0
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
1 2
0
0 15
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 2: х3, х4.

21.

x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
15 x2 15 x3 19 x4 15
x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
15 x2 15 x3 19 x4 15
x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
x x 19 x 1
2
3
4
15

22.

19
x1 2 x3
x4 1 2 x3 3x4 1
15
38
x1 2 x3
x 4 2 2 x3 3 x 4 1
15
7
x1
x4 1
15
7
19
x 4 ; 1 x3
x4 ;
1
15
15
х1
х2
x3 ;
x4
общее решение

23.

пусть
x3 0; x4 0
тогда частное решение
1;
1; 0; 0
Делаем проверку и записываем ответ:
Ответ:
7
19
общее решение: 1
x 4 ; 1 x3
x4 ;
15
15
частное решение:
1;
1; 0; 0
x3 ;
x4

24.

3. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 x2 x3 4
x1 2 x2 3 x3 0
2 x 2 x 3
1
3
1 1 1 4
1 2 3 0
2 0 2 3
×(-1)
×2
→
1 1 1 4
0 1 2 4 ×(-2)
0 2 4 5
→

25.

1 1 1 4
→ 0 1 2 4
0 0 0 13
rang(A)=2;
rang(A B)=3
А
A B
rang(A)≠rang(A B) ⇒ система несовместна
Ответ: система несовместна
x1 x2 x3 4
x 2 2 x3 4
0 x3 13

26.

• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной.

27. Однородная система линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных однородных
уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a x a x ... a x 0
21 1 22 2
2n n
.......... .......... .......... .......... ...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0

28.

• Однородная система всегда совместна,
так как существует тривиальное решение
х1= х2=…=хn=0
• Однородная система имеет бесконечное
множество решений, тогда и только
тогда, когда rang(A)<n

29.

1. Решить систему линейных уравнений :
0
2 x1 6 x2 x3
x 2 x 2 x 4 x 0
1
2
3
4
x1 4 x2 5 x3 4 x4 0
3 x1
x3 2 x4 0

30.

Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому
виду:
2
1
1
3
6 1
2 2
4
5
0
1
1
2
1
3
0 0
4 0
4 0
2 0
2 2 4
6 1
0
4 5 4
0 1
2
2
1
1
3
×(-2)
6 1
2 2
4
5
0
1
0
4
4
2
×(-3)
+
→
→

31.

1
0
0
0
1 2 2 4
5
8 ×(-3)
0 2
0 6
3
0
0 6 7 10
2
2
4
2 5
8
0 12 24 : 12
0 22 34 : 2
×3
1
0
0
0
→
2 2 4
2 5
8
0 1
2
0 11 17
×11

32.

1
0
0
0
2 2 4
2 5 8
0 1 2
0 0
5
1
0
0
0
2 2 4
2 5 8
0 1 2
0 0
5
0
0
0
0
А
A B
rang(A)=rang(A B)=4=(n=4) ⇒
система совместна и определённа, то есть имеет единственное
решение х1= х2= х3 =х4=0.

33.

1
0
0
0
2 2 4
2 5 8
0 1 2
0 0
5
0
0
0
0
x1 2 x2 2 x3 4 x4 0
2 x2 5 x3 8 x4 0
x3 2 x4 0
5 x4 0
x1 0
x 0
2
x3 0
x4 0
Ответ: (0, 0, 0, 0)

34.

2. Решить систему линейных уравнений :
x1 x2 x3 0
2 x1 x2 x3 0
1 1 1
2 1 1
×(-2)
1 1 1
→
0 3 3 : 3

35.

1 1 1
0 1 1
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
rang(A)=rang(A B)=2<(n=3)
базисный минор порядка r =2:
1 1
0
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 1: х3
1
0

36.

x1 x2 x3 0
x2 x3 0
⇒
x1 x2 x3
x 2 x3
x1 x3 x3 0
Тогда общее решение системы:
(0, х3, х3)

37.

Пусть
x3 1 , тогда частное решение: (0; 1; 1)
Делаем проверку и получаем ответ:
Ответ:
общее решение: (0; х3; х3)
частное решение: (0; 1; 1)