Решение обратной задачи динамики. Лекция 2

1.

Лекция 2.
Решение обратной задачи динамики. Общие
указания к решению обратной задачи
динамики. Примеры решения обратной
задачи динамики. Движение тела,
брошенного под углом к горизонту, без учета
сопротивления воздуха.
Рекомендуемая литература
1. Лекции по теоретической механике [Электронный ресурс] : учебное пособие / Ю. В. Лоскутов ; М-во
образования и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО "Поволж. гос. технол. ун-т". - Йошкар-Ола : ПГТУ, 2015.
2. Соколов Г.М. Теоретическая механика: курс лекций. Ч.1 Статика. Кинематика, 2011.
3. Лоскутов Ю.В., Журавлев Е.А., Кузовков С.Г. Теоретическая механика: учебное пособие, 2012.

2. Лекция 2

Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими
от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка:
После интегрирования
каждого из них будет
шесть постоянных
C1, C2,…., C6:
x f1 (t , C1 , C 2 , C 3 );
y f 2 (t , C1 , C 2 , C3 );
x f 4 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 );
z f 3 (t , C1 , C 2 , C3 ).
z f 6 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 ).
y f 5 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 );
После подстановки найденных значений постоянных получаем:
m x X i ;
Значения постоянных C1, C2,…., C6
находятся из шести начальных
условий при
x t x=0 0:
; y y0 ; z z 0 ;
x x 0 ;
x f1 (t , x 0 , y 0 , z 0 );
y f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 );
y y 0 ;
m y Yi ;
m z Z i .
z z 0 .
x f 4 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x 0 , y 0 , z 0 );
y f 5 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 );
Таким образом, под действием одной и той же системы сил
материальная точка может совершать целый класс движений, z f (t , x , y , z ).
z f 6 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x 0 , y 0 , z 0 ).
3
0
0 0
определяемых начальными условиями.
Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение
по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние.
Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и
величине. . В начальный момент скорость точки составляла v0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки.
z
ma F F const.
1. Составляем основное уравнение динамики:
i
y
2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы
и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось:
( x ) : ma x Fx F .
F
3. Понижаем порядок производной:
m
dv x
F .
dt
4. Разделяем переменные:
F
или
F
dt.
m
F
v x t C1 .
m
dv x
5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
x
dv x m dt.
F
dx F
6. Представим проекцию скорости
t C1 . 7. Разделяем переменные: dx ( t C1 )dt.
как производную координаты по времени: dt
m
m
F
F t2
8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: dx ( t C1 ) dt.
x
m
9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, vx = v0 , x = x0 :
vx
t 0
F
0 C1 v0 .
m
x t 0
F 02
C1 0 C 2 x0 .
m 2
В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x):
m x F .
m 2
C1t C 2 .
C1 v0 ; C 2 x 0 .
x
F t2
v0 t x0 .
m 2
5

3. Лекция 2 (продолжение 2.2)

Общие указания к решению прямой и обратной задачи. Порядок решения:
1. Составление дифференциального уравнения движения:
1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при
известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную
координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно
существует, например, при колебаниях точки.
1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты были положительными
(s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция
скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент
времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами
сопротивления, зависящими от скорости.
1.3. Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы.
1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы
через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят.
2. Решение дифференциальных уравнений:
2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. например:
dv x
1
kvx ,
dt
m
2.3. Если в уравнении три переменных,
dv x
1
cx,
то сделать замену переменных, например:
dt
m
x
dv x
dv
, или
s .
dt
dt
dv
dt.
k
g v 2
m
dv x
1
dv
k
kdt или
g v 2 ,
vx
m
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx и затем разделить переменные.
dtdx
dx
m
1
dvx
1
ln
v
kt C1
2.4. Вычислить неопределенные интегралы в левой и правой частях уравнения, например:
kdt
x
vx m
m
1
k t C1 ; C1 ln v x 0 .
Используя начальные условия, например, t = 0, vx = vx0, определить постоянную интегрирования: lnv x v
x0
m 0
2.2. Разделить переменные, например:
Замечание. Вместо вычисления неопределенных интегралов можно вычислить определенные интегралы с переменным верхним пределом.
Нижние пределы представляют начальные значения переменных (начальные условия) .Тогда не требуется отдельного нахождения постоянной,
которая автоматически включается в решение, например:
v
dv
t
1
v m kdt.
v 0
0
ln v
v
v 0
1 t
kt ;
m 0
2.5. Выразить скорость через производную координаты по времени, например,
ln v ln v 0
1
v
kt ln v 0
ds
e m
dt
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m
и повторить пункты 2.2 -2.4
Замечание. Если уравнение приводится к каноническому виду, имеющему стандартное решение, то это готовое решение и используется.
Постоянные интегрирования по прежнему находятся из начальных условий. См., например, колебания (лекция 4, стр.8).
6

4. Лекция 2 (продолжение 2.3)

Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от времени. Груз весом P начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности
под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt). Определить пройденное расстояние грузом за время t.
y
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:
N
F
O
x
2. Принимаем объект движения за материальную точку (тело движется поступательно), освобождаем от связи
(опорной плоскости) и заменяем реакцией (нормальной реакцией гладкой поверхности):
3. Составляем основное уравнение динамики: ma Fi F P N .
4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x :
( x ) : ma x F kt
или
x
k
t.
m
k
dv
dv x tdt.
6. Разделяем переменные:
gRkt2.
m x
v y dv y
Максимальная высота полетаm
2 .
dt 2 dy.
6. Разделяем переменные:
k
k t2
y
dy уравнения:
7. Вычисляем интегралы от обоих частей
y
при
обращении
знаменателя
в
нуль:
dv
tdt
.
v
C
.
v
x m
x y
1
y
vy
y
m
2
v 2y
gR 2
7. Вычисляем интегралы
1
2
2 gR v y 0
2.
gR 2 ( ) .
v1 y dv y k2 dy
от обоих частей
уравнения:
0
8. Определим
значение
постоянной C
2
y RC 0.
vy0
v x t 0R y C1 v0 0. v
1
y0
из начального условия t2 = 0, v2 x = v0=0:
m 2
Отсюда при постановке
v
v
1
1
y
y0
8. Подставляем
2
k t 2
В итоге
получаем
выражение
Земли и ускорения
2
9. Представим проекцию скорости
gR
.
1
1
9. Разделяем переменные: 2 dx 2 dt. В итогерадиуса
k t
y dx
пределы:
получаем уравнение
v y v y 0 2 gR
падения движения
2
2по времени:
R для .скорости в функции
как производную координаты
m 2 . свободного
y
R
(по
оси получается
x), которое дает
значение
dt mот 2координатыky t: 2
II космическая
3
k
t
2
2
пройденного
пути
за
время
t:
Максимальную
высоту
dx
dt
.
скорость:
10. Вычисляем интегралы от обоих
1m 2 1 v y 0
v y 0 частей
1уравнения:
x
C2 .
1
2
полета можно найти
2
gR
mH
6
k t 3 11kg
t3 / с
.
11. Определим
значение
постоянной
max
приравнивая
скорость
нулю:
2 gR 2 C 2 H max R F 0 3 H max R 2 gR 2
vxy 0
2 gR
.2км
2
S
.
C 2 0. 2 gR v y 0
x t 0
C 2 x 0 0.
из начального условия t = 0, x = x0=0:
m 6
P 6
m 6
x
P
5. Понижаем
2 производной:
v dv порядок
y
y
F
y
R
O
y
gR
Пример 3 решения обратной задачи: Сила зависит от координаты. Материальная точка массой m брошена вверх с
поверхности Земли со скоростью v0. Сила притяжения Земли обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки
до центра тяготения (центра Земли). Определить зависимость скорости от расстояния y до центра Земли.
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:
ma Fi F .
2. Составляем основное уравнение динамики:
k
k
m y 2 .
или
y
y2
Коэффициент пропорциональности можно найти, используя вес точки на поверхности Земли: F P при y R.
x
k
gR 2
mgR 2
Отсюда дифференциальное
2
mg
.
y
.
k
mgR
.
m
y
уравнение имеет вид:
R2
y2
y 2 или
dv y
gR 2
4. Понижаем порядок производной:
2 . 5. Делаем замену переменной: dv y dv y dy v y dv y .
7
dt
y
dt
dydt
dy
3. Проецируем основное уравнение динамики на ось y : ( y ) : ma y F

5. Лекция 2 (продолжение 2.4)

Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от скорости. Судно массы m имело скорость v0. Сопротивление воды движению судна
пропорционально скорости. Определить время, за которое скорость судна упадет вдвое после выключения двигателя, а также пройденное
расстояние судном до полной остановки.
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату:
y
2. Принимаем объект движения за материальную точку (судно движется поступательно), освобождаем от связей
(воды) и заменяем реакцией (выталкивающей силой – силой Архимеда), а также силой сопротивления движению.
N
x
O
3. Добавляем активную силу (силу тяжести).
ma Fi G R N .
x v x .
5. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : ( x) : ma x R v x или
G
m
dv x
dv x
x
6. Понижаем порядок производной:
v x .
7. Разделяем переменные:
dt.
dt
m
t
vx
m
vx
t
8. Вычисляем интегралы
vx
dv x
9.
Подставляем
ln v x v t .
ln v x ln v x 0 t.
dt.
от обоих частей уравнения:
x0
пределы:
m 0
m
vx 0 v x
0m
4. Составляем основное уравнение динамики:
R
m v
m
Получено выражение, связывающее скорость и
Время движения, за которое
t ln x 0 .
t ln 2.
время t, откуда можно определить время движения:
скорость упадет вдвое:
2 vx
gT 2
Исключив время из уравнений движения
Время полета определяем
gx
y v0 sin T
0;
y xtg к нулю2 время
. приравниванием
получаем заметить,
уравнениечто
траектории:
y нулю:
Интересно
при приближении скорости
стремится к координаты
бесконечности,
т.е. конечная
скорость не 2
может
2 движения
2
v
cos
2v sin Для
быть равна нулю. Чем не “вечное движение”? Однако, при 0этом пройденный путь до остановки является конечной величиной.
T 0 замену
определения
пройденного
пути
обратимся
к
выражению,
полученному
после
понижения
порядка
производной,
и
сделаем
Дальность полета определяем
g vx
2v sin 2v02 sin 2
x
переменной:
v dv
dv 0
L;
подстановкой dv
времени полета:
x dv
v cosdv
dx
T vv cos
x
dt
m
0x
vx .
dt
x
dxdt
0 x x .
dx
После интегрирования и подстановки пределов получаем:
■
x
g
x
x
dx
g
m
(v x 0 v x ).
m
dv x
vx .
m
dv x m dx.
dx.
vx 0
Пройденный путь
до остановки:
x
0
m
v x0 .
Движение точки, брошенной под углом к горизонту, в однородном поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха
y
v0
O
vx
( x) : m x 0;
( y ) : m y G mg ;
v
vx 0
vy0
ma Fi G .
G
x
x
dv x 0;
y
t
dv y gdt;
dx
v0 cos ;
dt
dv x
0;
dt
v x v x 0 v0 cos ;
dv y
dt
g ;
dv x 0; dv y gdt ;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
0
dy
v0 sin gt ;
dt
x v0 cos t ;
y v0 sin t
gt 2
;
2
8