Задачи по гидростатике

1. Задачи по гидростатике

2. Давление в точке

p = p0 + r gh
Для несжимаемой жидкости давление в точке равно:
Где p0 - давление на поверхности жидкости; ρgh – давление столба жидкости высотой
h.
Различают абсолютное и избыточное давления. Абсолютное давление изменяется от нуля и
может быть сколь угодно большим. Избыточное или манометрическое давление показывает
превышение давление над атмосферным давлением
Поскольку давление может быть и меньше атмосферного, то недостаток давления до
атмосферного называют вакуумом или вакуумметрическим давлением.
0
1
1
0
Вакуум
Абсолютное давление
2
3
1
4
3
2
Избыточное давление
5
6 ата
4
5 ати

3. Задача 1

В U-образный сосуд налиты ртуть и вода. Линия раздела жидкостей расположена
ниже свободной поверхности ртути на hрт=8 см. Определить разность уровней h- в
обеих частях сосуда.
Дано
p =p
p = p + r gh
1
hв
1 2
0
в
p2 = p0 + r рт ghрт
ρв=1000кг/м3
p0 + rв ghв = p0 + r рт ghрт
hрт ρрт=13600 кг/м3
r рт
rв
1
hрт=8 см
___________________
hв = hрт
2
в
Сократив на р0 и решая относительно hв, получим:
h=?
Искомая разность уровней равна
h = hрт
r рт
13600
- hрт = 8
- 8 = 100,8 см
rв
1000
h = hв - hрт

4. Задача 2

Найти абсолютное и избыточное давление на свободной поверхности жидкости в
закрытом сосуде с бензином, если уровень жидкости в открытом пьезометре выше
уровня жидкости в резервуаре на h=2 м, а атмосферное давление pa=100 кПа.
Дано
pa
p0
h
h=2 м
ρ=750 кг/м3
р
а
=100 кПа
—————
р0=?
В точках, лежащих на одной горизонтальной
плоскости, давление одинаково, откуда:
Абсолютное давление
p0 = pa + r gh = 100000 + 750 × 9,81 × 2 =
114700 Па
Избыточное давление
p0 = r gh = 750 × 9,81 × 2 = 14700 Па

5. Задача 3

Определить разность давлений в резервуарах А и В, заполненных водой, если показание
дифференциального водортутного манометра h равно 100 мм
вода
A
B
a
р1 = р А + r в g ( а + h )
hрт=100 мм=0,1 м
р2 = рBв + r gарт
+ r gh
ρв=1000 кг/м3
h
1
Дано
2
ртуть
р1 = р2
ρрт=13600 кг/м3
___________________
р А + rв g (Δр=?
а + h ) = рВ + rв gа + r рт gh
р А - рВ = r рт gh - rв gh = hg ( r рт - r в )
р А - рВ = hg ( r рт - rв ) = 0,1× 9,81( 13600 - 1000 ) = 12360 Па

6. Задача 4

К резервуару, заполненному газом давлением р0, присоединена трубка, опущенная в
сосуд с ртутью. Определить давление в резервуаре, если ртуть поднялась в трубке на
высоту h= 23 см.
pа = p0 + r рт gh
Дано
р0
h=23 см
ρрт=13600 кг/м3
рa
h
р
p0 = pа - r рт gh
=98,1 кПа
а
—————
р0=?
р0 = 98100 - 13600 × 9,8 × 0, 23 = 67400 Па

7. Задачи на дом

Определить абсолютное и избыточное давление на дно сосуда, если глубина воды в
нем h=4 м, абсолютное давление на поверхности воды p0 =175 кПа, а атмосферное
давление рa=98,1 кПа.
К резервуару, заполненному газом давлением р0 (рис.1), присоединена трубка,
опущенная в сосуд с ртутью. Определить высоту h на которую ртуть поднялась в
трубке, если давление в резервуаре р0=32 кПа, а атмосферное давление равно рa=98,1
кПа.
pм
Пружинный манометр подключен к
сосуду глубина воды в котором h=1,5 м
р0
h1 (рис. 2). Центр манометра находится
выше уровня воды на высоте h1=0,75
м. Определить избыточное давление на
h
рa
h дно сосуда, если манометр показывает
рм=160 кПа.
pд
Рис. 1
Рис. 2

8. Сила давления на плоские поверхности

р0
F = ( p0 + r ghc ) S
А
F
d
В
h
hd h c
a
ll
c
с
ld
r g sin a I c
ld = lc +
( p0 + r glc sin a ) S
А’
dS
d
с
S
h = l sin a ; hc = lc sin a ; hd = ld sin a
Для вертикальной стенки
Для открытых сосудов, р0=0
F = r ghc S
Ic
ld = lc +
lc S
Ic
hd = hc +
hc S

9. Задача 5

Прямоугольный вертикальный щит шириной b = 4.0 м находится в пазах. Вес щита G =
4.9 кН, коэффициент трения щита в пазах f = 0.5. Определить усилие Т, необходимое для
подъема щита, если уровни воды составляют: Н = 3 м, h = 1 м.
F = F1 - F2
F1
F2
b
F = r g ( H 2 - h2 )
2
Дано
b = 4,0 м
G = 4,9 кН
f = 0,5
H=3м
h=1м
————
Т=?
F = r ghc S
h
hc 2 = ; S 2 = bh
2
2
bH
F1 = r ghc1S1 = r g
22
bh
F2 = r ghc 2 S 2 = r g
2
b
T = G + f × F = G + f r g ( H 2 - h2 )
2
H
hc1 = ; S1 = bH
2
4 2 2
T = 4900 + 0,5 ×1000 × 9,81 × × ( 3 - 1 ) = 83380 Н
2

10. Задача 6

Круглое отверстие в вертикальной стенке резервуара, диаметром d = 40 см, перекрыто
плоским клапаном. Найти величину и точку приложения силы, прижимающей клапан
к стенке, если центр отверстия расположен ниже свободной поверхности воды на Н=
0.8 м.
Дано
d=40 см
Н=0,8 м
________
F=?, hd=?
F = r ghc S
Ic
hd = hc +
h
hc S 2
d
F
hc = H ; S = p
4
pd4
Ic =
64
2
d
0, 42
F = r gH p
= 1000 × 9,81× 0,8 × 3,14 ×
= 986 H
44
4
2
2
d
hd = H +
4p d
d
0, 4
=
Hм
+
=
0,8
+
= 0.813
2
64 H p d
16 H
16 × 0,8

11. Задача 7

Определить натяжение троса T, удерживающего щит шириной b = 2 м при глубине
воды Н= 1.8 м, если угол наклона щита a = 60о . Весом щита пренебречь, точка
приложения троса расположена на высоте h =0,7 м выше поверхности воды
H
bH
; S=
2
sin a
bH 2
2 ×1,82
F = rg
= 1000 × 9,81
= 36700 Н
2sin a
2 × 0,866
hc
H
bH 3
Ic
lc =
=
; Ic =
ld = lc +
3
sin
a
2sin
a
12sin
a
lc S
H
bH 3 2sin 2 a
2H
ld =
+
=
3
2
2sin a 12sin a bH
3sin a
F = r ghc S
h
ld
F
O
2 ×1,8
ld =
= 1,386 м
3 × 0,866
hc =
T ( H + h)
æ H
ö
= Fç
- ld ÷
sin a
è sin a
ø
æ 1,8
ö 0,866
æ H
ö sin a
T =Fç
- ld ÷
= 36700 × ç
- 1,386 ÷
= 8804 Н
è sin a
ø H +h
è 0,866
ø 1,8 + 0, 7

12. Сила давления на криволинейные поверхности

F = Fг2 + Fв2
Fг = r ghc Sв
Fв = r gW
Fв
H
H
Fв

13. Задача 8

Определить силу давления воды на 1 п м ширины вальцевого затвора
диаметром D = 1,5 м
F = Fг2 + Fв2
Fг
H
hc = ; S = bH
2
Fг = r ghc Sв
bH 2
Fг = r g
2
F
bH 2
1×1,52
Fг = r g
= 1000 × 9,81 ×
= 11040 H
2
2
p D2
3,14 ×1,52
Fв = r gW = r gbН
= 1000 × 9,81 ×1 ×
= 8662
4×2
8
в
Дано
b=1 м
D=1,5 м
_______
F=?
FН= 11040 + 8662,5 = 14033
2
2
a = arctg (0, 785) = 38,10
Fв 8662
tga =
=
= 0, 785
Fг 11040

14. Задача 9

Определить силу давления воды на затвор, перекрывающий отверстие в канале
высотой a = 2 м, между двумя смежными камерами, если глубины воды h1 = 5 м, h2
= 2,5 м, ширина затвора b = 4 м, его относ d = 1 м
Дано
h1=5 м
h2= 2,5 м
a=2м
h1
h2
a
d
d=1 м
ρg(h1-h2)
b=4м
F=?
aö
æ
Fг1 = r g ç h1 - ÷ ba
2ø
è
aö
æ
Fг 2 = r g ç h2 - ÷ ba
2ø
è
Fг = Fг1 - Fг 2 = r gba ( h1 - h2 ) = 1000 × 9,81× 4 × 2 ( 5 - 2,5 ) = 196200 н
Fв = r gW = r gd ( h1 - h2 ) b = 1000 × 9,81×1( 5 - 2,5 ) 4 = 98100 н
F = Fг2 - Fв2 = 1962002 + 981002 = 219400 н
Fв 98100
tga =
=
= 0,5; a = arctg ( 0,5 ) = 26,5o
Fн 196200

15. Задача 10

Определить сколько бревен диаметром d = 20 см и длиной l = 10 м необходимо для
перевозки машины массой М = 7000 кг
F
Дано
d = 20 см
l
=10 м
М
= 7000 кг ρд =
650 кг/м3 ρв
=1000кг/м3
n=?
Gм
Gп
F > Gм + Gп
Gм = gM
pd2
G1д= r g
l
4
pd2
F1в= r g
l
4
F = nF1п; G =1 nG
Gм
n=
=
F1 - G1
gM
pd2
g
l ( rв - r д )
4
9,81 × 7000
=
= 63, 69 = 64 шт
3,14 × 0, 2210
9,81
( 1000 - 650 )
4

16. Задачи на дом

1. Прямоугольный щит шириной b = 5 м закреплен шарнирно
в точке О. (рис.1) Определить усилие T, необходимое для
подъема щита, если h = 4.0 м, Н = 1.9м, угол наклона щита к
горизонту - 600.
2. Найти величину и точку приложения силы гидростатического
давления на вертикальный щит шириной b=3,5 м, если вода с
одной стороны Н=2,4 м, с другой стороны h= 0,8м
3. Определить силу давления воды на криволинейную часть
резервуара, представляющую собой четверть кругового
цилиндра, радиусом R=1,4 м, протяженностью b= 3 м, если
глубина воды Н=5,0 м.
4. Прямоугольный понтон размером L*B*H = 5.5*2.5*2.2 м и
массой М =4200 кг находится в воде. Определить
грузоподъемность понтона при осадке h= 1.8 м.

17. Уравнение Бернулли

Для невязкой жидкости
Для вязкой жидкости
Пьезометрическая линия
Напорная линия
p v2
z+
+
= const
r g 2g
p
v2
z+
+
+ hc = const
r g 2g
p
z+
rg
p
v2
z+
+
r g 2g
Линия полного гидродинамического
напора
p
v2
z+
+
+ hc
r g 2g

18. Задача 11

Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для невязкой
жидкости
d1 > d 2
v12
2g
H
p1
rg
d1
Напорная линия
v1 < v2
v22
2g
р2=0
d2
Пьезометрическая линия
v12 v22
<
2g 2g

19. Задача 12

Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для невязкой
жидкости
d1 > d 2
v12
2g
v22
2g
p1
rg
d1
H
v1 < v2
v12 v22
<
2g 2g
d2
Напорная линия
Пьезометрическая линия
p2
rg

20. Задача 13

Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для вязкой
жидкости
d1 > d 2
hвх
v12
2g
p1
rg
H
d1
hl1
hвн.с
hl2
v22
2g
d2
Пьезометрическая линия
Напорная линия
Линия полного гидродинамического напора
v1 < v2
v12
v22
<
2g 2g
l v2
l v2
hl = l
; I=
d 2g
d 2g
I1 < I 2

21. Задача 14

Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для вязкой
жидкости
v12
2g
p1
rg
d1
v22
2g
hвх h
l1
hвн.с
H
p2
rg
d2
Пьезометрическая линия
Напорная линия
Линия полного гидродинамического напора
hl2
v12
2g
d1 > d 2
v1 < v2
v12 v22
<
2g 2g
l v2
l v2
hl = l
; I=
d 2g
d 2g
I1 < I 2

22. Задание на дом

Придумать схемы движения жидкости (не менее 2-х участков) с истечением в
атмосферу и под уровень, и построить для них пьезометрические и напорные линии
для невязкой и вязкой жидкостей.