Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

1.

Решение уравнений,
содержащих переменную
под знаком модуля
Родионова Г. М., учитель математики МБУ «Школа №82»
г.о.Тольятти

2.

Определение модуля
a, a 0,
а
a, a 0.
0
a
a
|a|
| a |
х

3.

Определение модуля
a
| a b|
b
х

4.

Определение модуля
| a b|
b
a
х

5.

у
y | x |
1
х
0 1
График функции
y | x |

6.

Решение уравнений с модулем
f ( x ) a,
1. | f ( x) | a, а 0
f ( x) a.
при а 0 решений нет

7.

Решите уравнения:
1. 2 х 3 5
2. 2 х 5 х 3
2

8.

Решение уравнений с модулем
f ( x) g ( x),
2. | f ( x) | | g ( x) |
f ( x) g ( x).

9.

Решите уравнения:
1. 2 х 3 6 х
2. 2 х 2 5 х х 2 4

10.

Решение уравнений с модулем
f ( x) 0,
f ( x) g ( x),
3. | f ( x) | g ( x)
f ( x) 0,
f ( x) g ( x).
g ( x ) 0,
4. | f ( x) | g ( x ) f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x).

11.

Решите уравнения:
1. 2 х 3 5 х
2. 2 х 5 х 3 х
2

12.

Решите уравнение:
х2 4 х 3 0
х 4 х 3 0
2
х2 4 х 3 0
2 2
2
х t х х t х 0
2
х 4 х 3 0
2
t
1,
х 4х 3 0
2
t 4t 3 0
t х3 0
Обратная замена
х 1,
х 1,
х 3
х 3

13.

Задание на дом

14.

6 способов решения
одного уравнения
| x 1 | | x 3 | 4

15.

Уравнение с модулем
Решить уравнение
| x 1 | | x 3 | 4
I способ.
Решение:
Найдем нули
подмодульных
выражений
x 1 0, x 1
x 3 0, x 3.
Для раскрытия двух модулей рассмотрим
следующие 4 случая:

16.

x 1 0
a) x 3 0
или
x 1 x 3 4;
x 1 0
б ) x 3 0
x 1 x 3 4;
x 1 0
в) x 3 0
или
или
x 1 x 3 4;
x 1 0
г ) x 3 0
x 1 x 3 4;

17.

x 1
a ) x 3
x 1;
x 1
б ) x 3
0 x 8;
Решений нет
Решений нет
x 1
в ) x 3
0 x 0;
x 1
г) x 3
x 3;
x 3.
1 x 3.
Ответ: [-1;3]

18.

Решите уравнение
| x 1 | | x 3 | 4
II способ.
Так как обе части уравнения неотрицательные,
то при возведении их в квадрат получим
уравнение равносильное данному.
(| x 1 | | x 3 |) 2 4 2 ,
( x 1) 2 2 | x 1 | | x 3 | ( x 3)) 2 16,
| x 2 2 x 3 | x 2 2 x 3.
Из определения модуля следует. Что последнее
равенство выполнимо, если x 2 2 x 3 0,
т.е. когда
x [ 1;3].
Ответ: [-1;3]

19.

III способ - графический
Перепишем данное уравнение в
следующем виде:
| x 3 | 4 | x 1 | .
Далее изобразим графики функций
y | x 3 |, y 4 | x 1 |
И укажем абсциссы их общих точек.
Графики совпадают при x [ 1;3].
Ответ: x [ 1;3].

20.

III способ - графический
у
4
3
y 4 | x 1 |
5
y | x 3 |
1
0
3
Ответ: [-1;3]
х

21.

IVспособ - графический
Найдем абсциссы общих точек графика
функции y | x 1 | | x 3 |
и прямой y 4.
Для построения первого графика
достаточно взять несколько точки
с абсциссами х < 1 и x > 3, после
чего последовательно соединить их до
получения ломаной.

22.

у
4
y 4
y | x 1 | | x 3 |
1
0
3
Ответ: [-1;3]
IVспособ - графический
х

23.

V способ
Числа -1 и 3 разбивают числовую прямую на
Три интервала, на каждом из которых
подмодульные выражения имеют
определенный знак.
x 1
x 3
1
x 1
3
x 3
Найдем решение уравнения в каждом из
полученных промежутков:
x 1
x 3
х

24.

x ( ; 1)
a)
x 1 x 3 4;
x [ 1;3]
б )
x 1 x 3 4;
x (3; )
в)
x 1 x 3 4;
или
или

25.

x ( ; 1)
a)
x 1;
Нет решения
x [ 1;3]
б )
0 x 0;
x [ 1;3]
x (3; )
в )
x 3;
Ответ: [-1;3]

26.

VI способ
На числовой прямой найдем все точки с
координатой (х) , сумма расстояний от
которой до точек с координатами (-1) и (3)
равна 4.
d1
d2
1
3

27.

Литература:
•Алгебра 9кл: учеб. для общеобразоват. учреждений
Мордкович А.Г .– М.: Мнемозина, 2017.
•Журнал «Математика в школе» №3,2010 , стр.31.
•Алгебра: Нестандартные задачи: экспрессрепетитор для подготовки к ГИА: 9-й кл./Г.В.
Сычева, Н.В. Гусева,В.А. Гусев,-М.:АСТ:Астрель
; Владимир: ВКТ, 2010