Нормированные пространства (н.п.) и линейные непрерывные операторы (л.н.о.) m_norm.doc

1.

Модуль Н
Нормированные пространства (н.п.) и линейные непрерывные
операторы (л.н.о.) m_norm.doc
Вход
Модули К, L, T, M. Линейная алгебра. Анализ
Выход
Понятия
Пусть....
X ObL
X ObN
<X, . > ObN
<X, . > ObN
Понятие, обозначение
Категория
нормированных
пространств
(н.п.)
и
линейных непрерывных
отображений (л.н.о.), N
Нормированное
пространство (н.п.), Х
Норма, .
<X, . > ObN
Метрика в н.п.
Банахово пространство
(б.п.)
Локально компактное н.п.
<X, . X>,
<Y, . Y> ObN
<X, . X>,
<Y, . Y> ObN
Непрерывное л.о. в н.п.,
A N(X,Y)
Линейный ограниченный
оператор (л.о.о.) A:X Y
A N(X,Y)
Норма н.л.о.
<X, . Х> ObN Линейный непрерывный
функционал (л.н.ф.)
Пространство линейных
<X, . X>,
непрерывных операторов
<Y, . Y> ObN
(л.н.о.), N(X,Y)
X*,
<X, . Х> ObN Пространство
сопряженное к н.п. X
(п/п)
<X, . Х> ObN Подпространство
в н.п. Х
Компактный
оператор,
<X, . X>,
K:X Y
<Y, . Y> ObN
<X, . Х> ObN Ряд в н.п., xn
xn ряд в н.п.
xn ряд в н.п.
<X, . Х>
A N(X)
Определяющее понятие и видовые признаки
Категория N, для которой:
ObN состоит из всех н.п.,
N(X,Y) состоит из всех л.н.о. A:X Y,
ComN = ComS N(X,Y) N(Y,Z) (т.е. композиции и
единицы в N и S совпадают)
Упорядоченная пара <X, . >, где . норма в л.п. Х
Функция . : X [0, + ) x,y X, R (C)
1 x = 0 x =
2 x = x
3 x + y x + y
Метрика d(x,y) = x - y
Полное н.п.
Н.п. ограниченное подмножество в Х
предкомпактно
Отображение A:X Y с 2 признаками:
1 А непрерывно; 2 А линейно
Отображение A:X Y с 2 признаками:
1 Q ограниченно A(Q) ограниченно;
2 А линейно
Норма A = наименьший элемент числового м.
{M R Ax М x x X}
Н.л.о. F:X P, где P - поле вщественных или
комплексных чисел
Нормированное п. <N(X,Y), . >, где . норма л.н.о.
Нормированное пространство л.н.ф.,
определенных на X, т.е. X* = N(X, P)
Линейное п/п в Х, с той же нормой . Х
Оператор K:X Y X Q - ограничено
Y A(Q) - предкомпактно
Упорядоченная пара <xn, sn>
последовательностей в н.п.X sn = x1 + x2 + .. + xn
n N
Сходящийся ряд в н.п.
Ряд xn {sn} сходится
Абсолютно сходящийся Ряд xn xn Х сходится
ряд в н.п.
Регулярное значение о. А Комплексное число такое, что I-A изоморфизм в категории N

2.

A N(X)
A N(X), (А)
A N(X)
Резольвентное м. A, (A)
Резольвента л.н.о., R (A)
Спектр А, (A)
Эквивалентность норм
М. регулярных значений
Л.н.о. R (A) = ( I - A)-1 N(X)
М. (A) = С \ (A)
Отношение эквивалентности . .
c1, с2 > 0 . c1 . & . c2 .
Утверждения
УТВ Н-1. Неравенства Гельдера и Минковского.
(p,q > 1 & 1/p + 1/q = 1 p + q = pq p = (p-1)q) xy 1 x p y q.
(p 1) x + y p x p + y p.
УТВ Н-2. Согласованность линейной и метрической структуры в н.п.
Алгебраические операции в н.п. непрерывны:
(xn x, yn y, n ) xn + yn x + y & nxn x.
Норма непрерывна: xn x xn x . Шар Bx,r = x + rB ,1.
УТВ Н-3. Критерии банаховости н.п.
<X, . Х> банахово (X - замкнутое п/п в б.п. <Y, . X>)
( абсолютно сходящийся ряд в Х сходится)
УТВ Н-4. <B(T), . sup> - банахово п.
Следствия: Н-4.1. l - б.п.; Н-4.2. T - компакт <С(T), . sup> - б.п.; Н-4.3. C[a, b] сепарабельное, б/м б.п.
УТВ Н-5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре.
(X н.п., X Y - замкнутое п/п в Х, >0) ( p X p = 1 & dist(p,Y) 1- ).
УТВ Н-6. Свойства к/м н.п. В к/м н.п. две нормы эквивалентны; сходимость по любой
норме - покоординатная сходимость (в любом базисе); к/м н.п. полно и сепарабельно; к/м п/п в
н.п. всегда замкнуто; критерий конечномерности - локальная компактность; любой л.о. в к/м н.п.
непрерывен; к/м н.п. одинаковой размерности изоморфны в категории N.
УТВ Н-7. Свойства N(X, Y).
Н-7.1. Критерии непрерывности л.о. A:<X, . Х> <Y, . Y>:
(A непрерывен) (A непрерывен в т. ) (А ограничен) ( M 0 Ax Y М x X x X)
Н-7.2. Формулы для вычисления нормы л.н.о. A N(X,Y):
A = sup{ Ax Y: x X 1} = sup{ Ax Y: x X = 1} = sup{ Ax Y / x X :x }.
Следствие. N(X,Y) ObN.
Н-7.3. Y - б.п. N(X,Y) - б.п.
Н-7.4. Теорема о продолжении по непрерывности.
(Х - н.п., Y - б.п., DA - н.п/п в X, A:DA X Y - л.н.о.) ( единственный л.н.о. A: DA X Y,
продолжающий А на замыкание DA (т.е. A DA = A) & A = A ).
Н-7.5. Теорема Банаха-Штейнгауза - критерий ограниченности в N(X,Y).
(N(X - б.п., Y) M - ограничено) ( x X числовое м. { Ax Y: A M} ограничено).
Н-7.6. Теорема об открытом отображении. Пусть A N(X - б.п., Y - б.п.); тогда
(А - открытое отображение (т.е. образ открытого м. открыт)) А сюръективен.
Н-7.7. Теорема Банаха об обратном операторе.
(N(X - б.п., Y - б.п.) A - биективен) (A-1 N(Y - б.п., X - б.п.), т.е. А - изоморфизм в N)
Следствия.
Н-7.7.1. Об эквивалентности норм. (<X, . > - б.п., <X, . > - б.п. & c>0 . c . )
. . .
Н-7.7.2. Теорема о замкнутом графике. (X, Y - б.п., A:X Y - л.о.) (А непрерывен
график Gr(A) = {<x, Ax>: x X} - замкнутое л. п/п в б.п. <X Y, <x,y> X Y = x X + y Y>).
УТВ Н-8. Свойства произведения л.н.о.
Н-8.1. A, B - л.н.о. ВА - л.н.о. & BA B A .
Н-8.2. A N(X) An N(X) n N & An A n.
Н-8.3. Умножение л.н.о. непрерывно: (An A & Bn B) BnAn BA.

3.

Н-8.4. Дистрибутивный закон для операторных рядов: (Ak, B, Ak N(X)) B Ak = BAk.
УТВ Н-9. Теорема о ряде Неймана.
1
(A N(X - б.п.) & A <1) (ряд Неймана A k = (I-A)-1 N(X) & (I-A)-1
).
1 A
k 0
Следствия.
Н-9.1. Ряд Неймана для резольвенты.
1
Ak
(A N(X - б.п.) & A < ) (ряд Неймана k 1 = ( I-A)-1 N(X) & ( I-A)-1
).
A
k 0
Н-9.2. A N(X - б.п.) спектр (A) ограничен: (А) B , A C.
УТВ Н-10. k(t,s):[a,b]2 P непрерывна интегральный оператор
b
( Kx)(t ) k (t , s) x( s)ds, t [a, b]
a
компактен в C[a,b].
Умения
УМ Н-1. Вычислить норму вектора x <X, . Х>.
УМ Н-2. Доказать, что <X, . Х> ObN.
УМ Н-3. Исследовать последовательность {xn} <X, . Х> на сходимость.
УМ Н-4. Доказать, что <X, . Х> - б.п.
УМ Н-5. Доказать действие о. в н.п.
УМ Н-6. Доказать непрерывность л.о. в н.п.
УМ Н-7. Оценить (вычислить) норму л.н.о.
УМ Н-8. Доказать непрерывность и оценить (вычислить) норму л.н.ф.
УМ Н-9. Найти в простейших случаях спектр, резольвентное м., резольвенту л.н.о.
УМ Н-10. При > A разложить резольвенту в ряд Неймана.
УМ Н-11. Исследовать методами функционального анализа данное уравнение, например,
интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода ( I - K)x = y в н.п. <X, . Х>:
1. Доказать действие оператора К:X X. 2. Оценить норму K и доказать непрерывность
о. К. 3. Доказать компактность о. К. 4. Решая уравнение ( I - K)x = y, найти резольвентное м.
(К) и вычислить резольвенту R (K); найти спектр (К). 5. Решить уравнение ( I - K)x = y при
помощи резольвенты.
6. Разложить резольвенту в ряд Неймана при > K .
7. Найти
приближенное решение уравнения ( I - K)x = y, взяв 3 первых члена разложения резольвенты в
ряд Неймана.
Примеры
ПР Н-1. Вычислить норму вектора x <C2[0, 1], . Х>, x(t) = t3.
Решение. x Х = x sup + x' sup + x'' sup = sup { t3 : t [0, 1]} + sup { 3t2 : t [0, 1]} +
sup { 6t : t [0, 1]} = 1 + 3 + 6 = 10
ПР Н-2. Доказать, что <C[a, b], . sup> ObN.
Решение. 1. C[a, b] - л.п. относительно поточечных операций сложения и умножения на
числа (см. модуль Л). 2. . sup - норма? Проверим, например, неравенство треугольника.
t [a, b] (x + y)(t) =(сложение поточечное)= x(t) + y(t) (неравенство треугольника для
модуля) x(t) + y(t) (определение sup) x sup + y sup =(переходим в полученном
неравенстве к sup) x + y sup x sup + y sup. Остальные аксиомы нормы проверяются
аналогично

4.

ПР Н-3. Исследовать последовательность {xn} = {tn} <L1[0, 1], . 1> на сходимость (к ).
1
t n 1 1
1
Решение. xn - 1 = xn 1 = t n dt
0 (n ) =(определение сходящейся
n 1 0 n 1
0
последовательности) xn в <L1[0, 1], . 1>
ПР Н-4. Доказать, что <X, . Х> = <C[a, b], . sup> - б.п.
Решение. C[a, b] - л.п/п в B[a, b] - б.п.(УТВ Н-4) =(критерий банаховости УТВ Н-3) (C[a, b]
- б.п. C[a, b] - замкнутое л.п/п в б.п. B[a, b]). Осталось показать замкнутость C[a,b].
Пусть C[a,b] xn x (определение сходимости) xn - x sup 0, т.е. последовательность xn
равномерно на [a, b] сходится к x =(теорема из анализа) предельная функция х непрерывна, т.е.
x C[a,b]
ПР Н-5. Доказать действие о. Ax = x' : C1[a,b] C[a,b].
Решение. x C1[a,b] =(определение C1[a,b]) x' C[a,b] =(определение оператора А) Ax =
x' C[a,b]
ПР Н-6. Доказать непрерывность л.о. Aax = ax в н.п. C[a,b] (a C[a,b]).
Решение. t [a,b] (Aax)(t) = a(t) x(t) (определение sup) a sup x sup x C[a,b]
=(переход к sup) sup{ (Aax)(t) :t [a,b]} = Aax sup a sup x sup x C[a,b] (критерий
непрерыности л.о. УТВ Н-7.1) Aa непрерывен
ПР Н-7. Оценить (вычислить) норму л.н.о. Aa.
Решение. Выше получено неравенство: Aax sup a sup x sup x C[a,b] =(определение
нормы оператора) Aa a sup. В неравенство Aax sup Aa x sup ( Aa - наименьшая
константа, для которой это неравенство верно) подставим x0(t) 1 ( x0 sup = 1): Aax0 sup = ax0 sup =
a sup Aa 1 a sup Aa =(антисимметричность ) Aa = a sup
ПР Н-8. Доказать непрерывность и оценить (вычислить) норму л.н.ф. Fx = x(0):C[0,1] R.
Решение. F - линейный функционал (см. модуль Л). Fx = x(0) sup{ (x)(t) :t [0,1]}= x sup
x C[0,1] (критерий непрерыности л.о. УТВ Н-7.1) F непрерывен ( F (C[0,1])* ) и, в силу
определения нормы л.о., F 1. В неравенство Fx F x sup ( F - наименьшая константа, для
которой это неравенство верно) подставим x0(t) 1 ( x0 sup = 1): Fx0 = x0(0) = 1 F 1 1 F
=(антисимметричность ) F = 1
ПР Н-9. Найти в простейших случаях спектр, резольвентное м., резольвенту л.н.о.
X = C(T), Aa N(X), a X.
Решение. Рассмотрим уравнение x - Aax = y в пространстве C(T) x - ax = y ( - a)x = y
x = y / ( - a) = ( I - Aa)-1y = R (Aa)y в том и только в том случае, когда a(T), т.е. когда
значение - a(t) 0 ни при каком t T (Aa) = a(T), (Aa) = C \ (Aa), R (Aa) = A1/( - a)
ПР
Н-10.
При >
K
разложить
резольвенту
в
ряд
Неймана.
X=C[0,1],
1
( Kx)(t ) tsx( s)ds : X X - интегральный оператор.
0
Решение.
Вычислим
степени
оператора
(K2x)(t)
K[K(x)](t)
=
1
1
2
0 ts ( Kx)(s)ds 0 ts ( 0 spx( p)dp)ds =(меняем порядок интегрир-я)= 0 tpx( p)dp 0 s ds 3 0 tpx( p)dp =
1
1
1
1
1
(Kx)(t) t [0,1] =(равенство поточечное) K2 = K K3 = KK2 = K K = K2 = 2 K =(по
3
3
3
3
3
1
1
1
K:
1
=
1

5.

индукции) Kn =
1
1
K. При > K =
n 1
3
tsds
0
Неймана: ( I - K)-1 =
1
I
K
1
sup
I
K
3
Заметим, что резольвента определена при (A)
k 1
k
=
k 1
k 1
k 1
k 1
t
1
sup = резольвента разлагается в ряд
2
2
1
I
1
2
1
1
1
I
K.
k 1
( 13 )
k 1 (3 )
K
ПР Н-11. Исследовать методами функционального анализа данное уравнение, например,
интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода ( I - K)x = y:
1
3x(t) - ts 2 x( s)ds [ 0, 0.1] (t ), t [0, 1],
(1)
0
в пространстве X = L4[0,1].
Решение. 1. Доказать действие оператора К:X X. Д-во. x X Kx = ca, где число c =
1
1
2
s x(s)ds , a(t) = t, t [0,1] a X, т.к. a 4 = 5 4 < =(X - л.п.) Kx = ca X
0
2. Оценить норму K и доказать непрерывность о. К. Д-во. Kx 4 = ca 4 = c a 4 =
1
1
s
2
s x(s)ds a 4
8
3
( s 3 ds ) 4 5
14
x( s) ds a 4 = s2x(s) 1 a 4 (неравенство Гельдера) s2 4/3 x 4 a 4 =
0
0
1
2
x 4 = 0.2524 x 4 Kx 4 0.2524 x 4 оператор K непрерывен & K 0.2524
0
3. Доказать компактность о. К. Д-во. X D - ограничено =(критерии непрерывности УТВ
Н-7.1) K(D) - ограничено =(im K = Sp(a)) K(D) ограничено и K(D) im K - конечномерное
н.п. =(критерий локальной компактности н.п. УТВ Н-6) K(D) предкомпактно =(определение
компактного оператора) K компактен.
4. Решая уравнение ( I - K)x = y, найти резольвентное м. (К) и вычислить резольвенту
1
R (K); найти спектр (К).
Решим уравнение x(t) - ts 2 x( s)ds = y(t)
(2)
0
При = 0 в левой части уравнения (2) стоит функция ct, поэтому уравнение (2) не может иметь
решение при y(t) ct, следовательно 0 = 0 (К). При 0 x(t) = 1 y(t ) 1 tc . Умножим это
1
1
2
c
1
t y (t ) dt 4 c(1 4 )
равенство на t2 и проинтегрируем по отрезку [0,1]: c =
1
0
1
при
x
1
4
с
y
1
1
(1 41 )
1
( 0.25)
s
1
s
2
y ( s)ds
0
1
2
y ( s)ds x(t )
1
0
y(t ) ( 10.25) ts 2 y( s)ds
1
y(t ) ( 10.25) ( Ky )(t ) t [0,1]
0
Ky y R (K) = ( I - K) =
-1
Спектр (К) = {0, 0.25}.
5.
Решить
уравнение
( I
-
1
I ( 10.25) K Резольвентное м. (К) = С\{0, 0.25}.
K)x
=
y
при
помощи
резольвенты.
0.1
x(t ) 13 [ 0, 0.1] (t ) 3(3 10.25) t s 2 ds 13 [ 0, 0.1] (t ) 0.0000404t , t [0,1].
0
6.
Разложить
K k 14
k 1
резольвенту
в
ряд
Неймана
K , k 1,2,.. ряд Неймана: ( I - K)-1 =
при > 0.2524.
при
>
K .
Находим
K
1
1 k 1 K
1 I K
I k 1 I ( 4 )
k 1
1
k 1
k
степени
k 1
1
2
k 1
1
( 4 ) k 1

6.

7. Найти приближенное решение уравнения ( I - K)x = y, взяв 3 первых члена разложения
резольвенты в ряд Неймана.
0.1
.25
)t s 2 ds 13 [ 0, 0.1] (t ) 0.0000401t , t [0,1].
Приближенное решение x(t) 13 [ 0, 0.1] (t ) ( 19 027
0
Доказательства теорем
УТВ Н-3. Критерии банаховости н.п. (X - замкнутое п/п в б.п. <Y, . X>) (1) <X, . Х>
банахово (2) ( абсолютно сходящийся ряд в Х сходится)
Д-во. (1)? Y=X! (1) ? X {xn} фундаментальна =(X Y) Y {xn} фундаментальна
=(Y - б.п.) xn x Y =(X замкнуто, а X {xn}) xn x X =(определение б.п.) Х б.п.!
(2) ? Пусть ряд
x k абсолютно сходится, т.е. сходится числовой ряд
k 1
x
k 1
k
из норм членов
n
исходного ряда. Рассмотрим s n x k ; при m>n sm – sn = xn+1 + … + xm =(неравенство
k 1
треугольника) sm – sn
m
x
k n 1
числового
ряда
x
k 1
k
k
0(m, n ) в силу критерия Коши для сходящегося
=(определение
фундаментальна =(Х – б.п.) sn s =
фундаментальной
x
k
!
(2)? Пусть X {xn} фундаментальна.
подпоследовательность {xn(k)}:
(для
{sn}
k 1
(*)
последовательности)
Выберем
xn(k+1) – xn(k)
из
{xn}
«быстро
сходящуюся»
1
, k=1,2,… ,
2k
1
1
>0 nk n,m nk xn xm k ). Рассмотрим ряд
k
2
2
(**)
xn(1) +
(x
k 1
n ( k 1)
xn( k ) ) ,
последовательность частичных сумм которого sN = xn(1) + (xn(2) - xn(1)) + … + (xn(N+1) - xn(N)) = xn(N+1),
т.е. сходимость ряда (**) эквивалентна сходимости последовательности {xn(k)}. (*) =(мажорантный
признак сходимости рядов с неотрицательными членами) ряд (**) абсолютно сходится
=(условие теоремы) (**) сходится =(доказанная выше эквивалентность) xn(k) x X.
xn x ? Фиксируем >0 =({xn} фундаментальна) n (n,m n xn – xm ) =(n(k) строго
2
возрастает & xn(k) x) номер k nk n & xn(k) - x
=(неравенство треугольника)
2
xn - x = xn - xn(k) + xn(k) - x =(определение сходящейся последовательности) xn x X
=(определение б.п.) Х – б.п.
УТВ Н-7.1. Критерии непрерывности л.о. A:<X, . Х> <Y, . Y>:
(1 A непрерывен) (2 A непрерывен в т. ) (3 А ограничен)
(4 M 0 Ax Y М x X x X)
Д-во. 1 ? 1 ? - Очевидно! 2 1 ? Д-во. xn x =(непрерывность алгебраических
операций в Х) xn - x X =(2 ) A(xn - x) A X =(A - л.о.) Axn - Ax Y =(непрерывность
алгебраических операций в Y) Axn Ax (определение н.о.) 1 !
2

7.

2 ? Предположим противное: [X D - ограниченное, но A(D) не ограничено =(определение
ограниченного множества) A(D) B ,n n N =(определение ) A(D) (Y \ B ,n) n N
=(аксиома выбора) n N yn A(D) (Y \ B ,n) =(определение образа A(D)) n N xn D
yn = Axn A(D) (Y \ B ,n) =(определение дополнения Y \ B ,n) n N xn D Axn n
=(т.к. {xn} D - ограничено) zn = xn/n при n , но Azn =(zn = xn/n)= A(xn/n)
=(линейность о. А и полуоднородность нормы)= Axn / n ( Axn n) 1, т.е. Azn не сходится к Y
- противоречит 2 =(не 3 не 2 эквивалентно 2 3 ) 3 !
3 4 ? Предположим противное: не 4 , т.е. n N xn (?) Axn Y > n xn
x
x
=(невырожденность и полуоднородность нормы и линейность о. А) A( n ) > n =( n xn
x n
x
ограничена, но A n не ограничена) противоречит 3 =(не 4 не 3
эквивалентно
x n
3 4 ) 4 !
4 2 ? xn X (определение сходящейся последовательности) xn X 0
=( Ax Y М x X) 0 Axn Y М xn X 0 =(два милиционера) Axn Y 0 (определение
сходящейся последовательности) Axn Y (определение непрерывного в о.) 2
УТВ Н-7.2. Формулы для вычисления нормы л.н.о. A N(X,Y):
A = ( ) sup{ Ax Y: x X 1} = ( ) sup{ Ax Y: x X = 1} = ( ) sup{ Ax Y / x X :x }.
Д-во = - очевидно (sup подмножества). Пусть 0< x 1. Аx =( полуоднородность
нормы и линейность о. А)= x A(
x
) ( x 1 и определение sup) sup{ Ax Y: x X = 1} =
x
=(sup - наименьшая мажоранта) =(антисимметричность ) !
Ax
= sup{ Ax Y: x X = 1} =(делим на единицу)= sup{
: x = 1} (sup подмножества)
x
sup{
A(
Ax
x
: x } = , т.е. . Далее, при x
Ax
x
=( полуоднородность нормы и линейность о. А)=
x
) (sup - мажоранта) =(sup - наименьшая мажоранта) =(антисимметричность
x
) !
A Для x 1 имеем Ax (нормативное неравенство) A x ( x 1) A =(sup наименьшая мажоранта) A . Далее фиксируем > 0 =(определение нормы л.о.) x
Ax > ( A - ) x =(делим на x > 0 и полуоднородность нормы и линейность о. А)
x
A( ) > A - =( sup - мажоранта) > A - =( +0) A =(антисимметричность
x
) A ! =(транзитивность отношения = ) A = =
УТВ Н-7.7. Теорема Банаха об обратном операторе.
(N(X - б.п., Y - б.п.) A - биективен) (A-1 N(Y - б.п., X - б.п.), т.е. А - изоморфизм в N)
Д-во. ? X u - открыто. (A-1)-1u =(А - биекция (A-1)-1 = А)= Au - открыто в Y в силу т. об
открытом отображении УТВ Н-7.6, т.е. при обратном отображении A-1:Y X прообраз (A-1)-1u
открытого м. u открыт (одно из эквивалентных определений непрерывного отображения)
A-1:Y X непрерывно ! ? Вытекает из того, что N подкатегория в S

8.

УТВ Н-9. Теорема о ряде Неймана.
(A N(X - б.п.) & A <1) (ряд Неймана
A
k
= (I-A)-1 N(X) & (I-A)-1 (1- A )-1).
k 0
Д-во. а X - б.п.=(УТВ N-7.3) N(X) - б.п. (критерий банаховости) абсолютно
сходящийся ряд в N(X) сходится ! Рассмотрим ряд из норм
A k (УТВ N-8.2: An A n)
k 0
A
k
=( A <1)=
k 0
1
1 A
A
рядов) ряд Неймана
=(мажорантный признак сходимости неотрицательных числовых
k
абсолютно сходится =(а ) ряд Неймана сходится в N(X) !
k 0
б (I - A)
A k =(дистрибутивный з-н для операторных рядов)=
k 0
( I A) A
k
=(определение
k 0
n
n
сходящегося ряда)= lim ( I A) A k =(N(X) - банахова алгебра)= lim ( A k A k 1 ) =(взаимно
n
n
k 0
уничтожаются слагаемые)= lim ( I A
n
n )= I. Аналогично,
n 1
) =(линейность lim)= I lim A
k 0
n 1
n
=( A <1 An+1 при
A k (I - A) = I =(определение обратного морфизма) (I-A)-1 =
k 0
A
k
(*) !
k 0
n
в (I-A)-1 =( * )= A k =(определение суммы сходящегося ряда)= lim A k
n
k 0
=(непрерывность нормы)= lim
n
n
lim A =( A <1)=
n
k
k 0
n
A
k 0
k
n
(неравенство треугольника) lim A k
n
k 0
(УТВ N-8.2)
k 0
1
1 A
Задачи для самостоятельной работы
1. Исследовать методами ФА данное уравнение.
УМ Н-11) при , указанном в скобках.
Варианты
Решить уравнение (пункты 5 и 7
1
1. x(t ) t 3 x( s)ds [ 0, 0.3] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =0.5)
0
1
2. x(t ) s 4 x( s)ds [ 0, 0.4] (t ), t [0,1]; X L3[0,1]. ( =1)
0
1
3. x(t ) ts 3 x( s)ds [ 0, 0.5] (t ), t [0,1]; X L4 [0,1]. ( =2)
0
1
4. x(t ) t 2 s 2 x( s)ds [ 0, 0.6] (t ), t [0,1]; X L3[0,1].
( =3)
0
1
5. x(t ) t 3 sx( s)ds [ 0, 0.7 ] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =4)
0
1
6. x(t ) t 4 x( s)ds [ 0, 0.8] (t ), t [0,1]; X L3[0,1]. ( =0.5)
0

9.

1
7. x(t ) t 3 sx( s)ds [ 0, 0.9] (t ), t [0,1]; X L4 [0,1]. ( =1)
0
1
8. x(t ) t 2 s 2 x( s)ds 1, t [0,1]; X L3[0,1]. ( =2)
0
1
9. x(t ) ts 3 x( s)ds [ 0, 0.9] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =3)
0
1
10. x(t ) s 4 x( s)ds [ 0, 0.8] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =4)
0
1
11. x(t ) ts 3 x( s)ds [ 0, 0.7 ] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =0.5)
0
1
12. x(t ) t 2 s 2 x( s)ds [ 0, 0.6] (t ), t [0,1]; X L2 [0,1]. ( =1)
0
1
13. x(t ) t 3 sx( s)ds [ 0, 0.5] (t ), t [0,1]; X L3[0,1]. ( =2)
0
2. Доказать.
Варианты
1. Всякое нормированное пространство является метрическим.
2. Алгебраические операции в н.п. непрерывны:
(xn x, yn y, n ) xn + yn x + y & nxn x.
3. Норма непрерывна: xn x xn x .
4. C[a, b] – б.п. Указание. Использовать критерий банаховости н.п.
5. N(X,Y) ObN.
6. Y – б.п. N(X,Y) – б.п. Указание. N(X,Y) {An} – фундаментальна An A, где
Ax lim An x x X .
n
7. (<X, . X> и <Y, . Y> - б.п.) <X Y, <x,y> X Y = x X + y Y – б.п.
8. (A N(X,Y) & B N(Y,Z)) (ВА N(X,Z) & BA B A ).
9. A N(X) An N(X) n N & An A n. Указание. Использовать метод математической
индукции.
10. Умножение л.н.о. непрерывно: (An A & Bn B) BnAn BA.
11. Дистрибутивный закон для операторных рядов: (Ak, B,
A
k 1
12. A N(X – б.п.) спектр (А) ограничен: (А) B , A C.
Литература
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., гл. 3, 4.
2. Хатсон В., Пим Дж.С., гл. 1, 3, 5.
3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д., гл. 3.
4. М.Саймон, Б.Рид, гл. 3, 6.
k
N(X)) B Ak =
k 1
BA
k 1
k