Некоторые приемы решения целых уравнений. Простейшие уравнения с параметром

1.

Некоторые приемы решения
целых уравнений.
Простейшие уравнения с
параметром.

2.

Неизвестные величины принято обозначать
последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…),
параметры – первыми буквами (а, b, c, …).

3. Примеры возвратных уравнений

а) 7х³-2х²-2х+7=0;
б) 5х³-3х²-3х+5=0;
в) 12х⁴-7х³+2х²-7х+12=0;
г) 2х⁴+8х³-4х²+8х+2=0;
д) 6х⁵-7х⁴+2х³+2х²-7х+6=0.

4.

Пример 1 Решим возвратное уравнение
7 x3 2 x 2 2 x 7 0
Выполним группировку первого и последнего, второго и третьего
членов уравнения, получим:
(7х³+7)-2х (х+1)=0 ;
7(х+1)(х²-х+1)-2х(х+1)=0;
вынесем общий сложный множитель за скобки
(х+1) (7х²-7х+7-2х)=0;
х+1=0
или 7х²-9х+7=0
х=-1
Д<0, квадратное уравнение корней не имеет
Ответ: х=-1.

5.

Пример 2 Решим возвратное уравнение
x 4 7 x 3 8x 2 7 x 1 0
7 1
2
x 7x 8 2 0
x x
1
1
( x 2 2 ) 7( x ) 8 0
x
x
1
y x
x
1
(x ) 2 y 2
x
1
2
x 2 2 y2
x
x 4 7 x 3 8x 2 7 x 1 0
1
2
y
2
2
x
( y 2 2) 7 y 8 0
x2
y2 7y 6 0
y1 1
1
x 1
x
y2 6
1
x 6
x
x1 3 2 2
x2 3 2 2
x1 3 2 2
x2 3 2 2

6.

Неизвестные величины принято обозначать
последними буквами латинского алфавита (х, у, z,…),
параметры – первыми буквами (а, b, c, …).

7.

Решить уравнение с параметром – значит для каждого
значения параметра найти множество всех корней
данного уравнения или доказать, что корней нет.

8.

Пример 3. Решить уравнение ax = 1.
Решение.
1. если a ≠ 0:
2. если a = 0: 0 · x = 1 – не имеет решений;

9.

Пример 4. Решить уравнение a2x – 1 = x + a.
Решение.
a2x – 1 = x + a ;
a2x – x = a + 1;
x(a2 – 1) = a + 1;
1. если a2 – 1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1:
2. если a = 1, то есть 0 · x = 2:
3. если a = –1, то есть 0 · x = 0:
уравнение не имеет решений;

10.

Решение.
ОДЗ:
а ≠ 2: x = 2a;
х – 4 ≠ 0;
a = 2: уравнение не имеет решений;
х ≠ 4;
х – 2а = 0;
х = 2а;
х ≠ 4:
2а ≠ 4;
а ≠ 2;
Ответ: если а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a;
если a = 2, то уравнение не имеет решений.

11. Домашнее задание