Функция у = log. х, её свойства и график

1.

Функция y = log x,
её свойства и график.
a
1

2.

Джон Непер
John Napier
1550-1617
Научная сфера:
математика
Известен как:
изобретатель логарифмов
2

3.

Прочитайте и назовите график функции,
изображённый на рисунке.
y
y a ,a 1
x
Какими свойствами
обладает эта
функция
при 0 < a < 1?
1
0
y1 a ,0 xa 1
x
3

4.

Леонард Эйлер
нем. Leonhard Euler
4 (15) апреля 17077 (18) сентября 1783 (76 лет)
Место смерти:
Санкт-Петербург
Научная сфера:
Математика, механика, физика,
астрономия
Современное определение показательной, логарифмической
и тригонометрических функций — заслуга Леонарда Эйлера,
4
так же как и их символика.

5.

Показательная функция y
Логарифмическая функция
a
x
y log a x
y
(c ; b)
b
(b ; c)
c
Что можно сказать
о точке (b;c)?
0
c
b
x
5

6.

График функции y log a x симметричен графику
x
функции y a относительно прямой y = x.
y
y a ,a 1
x
a
y log a x, a 1
1
01
a
x
6

7.

Свойства функции у = loga x, a > 1.
1) D(f) = (0, + ∞);
2) E(f) = (- ∞, + ∞);
3) не является ни чётной,
0
ни нечётной;
4) возрастает на (0, + ∞);
5)Экстремальных точек -нет
6) непрерывна;
7) с ОХ (1;0)
выпукла вверх
у
y log a x
х
7

8.

График функции y log a x симметричен графику
x
функции y a относительно прямой y = x.
y
y a ,0 a 1
x
1
0
y log a x,
1
0 a 1
x
8

9.

Свойства функции у = loga x, 0 < a < 1.
1) D(f) = (0, + ∞);
2) E(f) = (- ∞, + ∞);
3) не является ни чётной,
0
ни нечётной;
4) убывает на (0, + ∞);
5) Экстремальных точек -нет
6) непрерывна;
7) с ОХ (1;0)
у
y log a x
х
выпукла вниз
9

10.

График функции y = loga x.
y
y log a x
3
2
1
-1
-2
Опишите свойства
логарифмической
функции.
a 1
0
1 2
4
x
0 a 1
8
10

11.

Основные свойства логарифмической
функции
№
1
2
3
4
5
6
7
a>1
D(f) = (0, + ∞)
0<a<1
E(f) = (- ∞, + ∞)
не является ни чётной, ни нечётной;
возрастает на (0, + ∞)
убывает на (0, + ∞)
не имеет экстремальных точек, не имеет
наибольшего и наименьшего значения
непрерывна
(1;0) выпукла вверх
(1;0)выпукла вниз
11

12.

Проверка:
y
График
логарифмической
функции
называют
логарифмической
кривой.
y log 2 x
3
2
1
-1
-2
-3
0
1 2
4
y log 1 x
28
x
12

13.

y
2
1
у = logcx
у = log2ax
у = log4ax
у = log7ax
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3
x

14.

Задание №2
Решите уравнение и неравенства:
log 5 x 0
y
Ответ: х = 1
log 5 x 0
1
-1
Ответ: х > 1
0
1
x
log 5 x 0
Ответ: 0 < х < 1
14

15.

Самостоятельно:
Решите уравнение и неравенства:
log 2 x 0
log 2 x 0
5
log 2 x 0
5
5
Ответ: х = 1
Ответ: х > 1
Ответ: 0 < х < 1
у
у
у
х
х
х
15

16.

Преобразование
графиков
логарифмической
функции
16

17.

Параллельный перенос
вдоль оси ОХ:

18.

Симметричное преобразование
относительно оси Х:

19.

Симметричное
преобразование
относительно оси У:

20.

Задание №3
Постройте графики функций: y log 2 ( x 2) 3
y
x=-2
1
x
01
y=-3
20

21.

y 2 log 2 x 1 -2
1
1
02
2 ; -2
4
4
2
0 1
x

22.

Установите для предложенных
графиков значение параметра a (a >1, 0 < a < 1)
у
у
у
a 1
х
0 a 1
х
х
у
a 1
х
Не является
графиком
логарифмической
функции
22

23.

Блиц - опрос.
Отвечать только «да» или «нет»
1.Ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции.
2. Монотонность логарифмической функции зависит
от основания логарифма
3.Область определения логарифмической функции – вся
числовая прямая, а область значений этой функции –
промежуток (0, + ∞).
4. Графики показательной и логарифмической функций
симметричны относительно прямой у = х.
23

24.

Блиц - опрос.
Отвечать только «да» или «нет»
5. Логарифмическая функция не является ни чётной,
ни нечётной.
6. Не каждый график логарифмической функции
проходит через точку с координатами (1;0).
7.Логарифмическая функция имеет наибольшее значение
и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот
при 0 < a < 1.
24

25.

Проверка:
1. да,
2. да,
3. нет,
4. да,
5. да,
6. нет,
7. нет
25