Первообразная и интеграл

1.

Первообразная и интеграл

2.

Первообразная
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого x
из этого промежутка F’(x) = f(x).
Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей
числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку
(x2/2)’=x.

3.

Основное свойство первообразных
Если F(x) – первообразная функции f(x), то и
функция F(x)+C, где C – произвольная
постоянная, также является первообразной
функции f(x).
Геометрическая интерпретация
Графики всех
y
x
первообразных данной
функции f(x) получаются
из графика какой-либо
одной первообразной
параллельными
переносами вдоль оси y.

4.

Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается f ( x)dx :
f ( x)dx F ( x) C ,
где C – произвольная постоянная.

5.

Правила интегрирования
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx F (ax b) C , a 0
a

6.

Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

7.

Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n , его называют
n
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
b
f ( x)dx
a

8.

Связь между определенным
интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

9.

Основные свойства определенного
интеграла
a
f ( x)dx 0
a
b
dx b a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

10.

Основные свойства определенного
интеграла
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

11.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

12.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

13.

Геометрический смысл
определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

14.

Физический смысл
определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s
численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v
от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

15.

Вычисление площадей и объемов
с помощью определенного интеграла

16.

Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек
пересечения графиков функций:
b
S ( f ( x) g ( x)) dx
a

17.

Объем тела,
полученного в результате вращения вокруг оси
x криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a