Решение СЛАУ матричным методом

1. Решение СЛАУ матричным методом

2. Матричный метод решения СЛАУ

Матричный метод – это метод решения
через обратную матрицу квадратных
(с числом уравнений, равным числу
неизвестных) систем линейных
алгебраических уравнений с
ненулевым определителем.

3. Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными
Запишем ее в матричной форме:
A — основная матрица системы, состоящая из
коэффициентов при неизвестных.
B — вектор - столбец свободных членов (слагаемых)
X — вектор – столбец решений системы

4. Запишем СЛАУ в виде матричного уравнения и решим его

AX = B
Умножим это матричное уравнение слева на A − 1 — матрицу,
обратную матрице A:
Так как A − 1A = E по определению обратной матрицы, получаем
E X = A − 1B
X = A − 1B
где A – 1=1/∆ (A*)Т ,
∆≠0
(A*)Т - транспонированная матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы A.

5. Пример Решить СЛАУ матричным методом:

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из
коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

6. Вычислим алгебраические дополнения для элементов основной матрицы

Вычислим алгебраические дополнения для
элементов основной матрицы

7. Найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы

Найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим
в формулу для нахождения обратной матрицы

8. Найдем неизвестные, перемножив обратную матрицу и столбец свободных членов

Найдем неизвестные, перемножив обратную
матрицу и столбец свободных членов
Ответ: x=2; y=1; z=4.

9.

10. Самостоятельная работа

1 вариант
2 вариант
Решить СЛАУ:
Решить СЛАУ:
2 x1 3 x2 x3 7
3 x1 2 x2 x3 5
4 x 7 x 3 x 4
2
3
1
x1 2x 2 - x 3 4
3x1 2 x 3 8
4x - 2x 5x 0
1
2
3

11. Домашнее задание

Решить СЛАУ: