Выпуклость функции. Точки перегиба

1.

Выпуклость функции.
Точки перегиба.

2.

Основные определения
Функция у f (x) называется выпуклой вверх
(вниз) на промежутке a; b , если график
функции расположен ниже (выше) любой
касательной, проведенной к графику функции
в любой точке промежутка.

3.

Функция, выпуклая вверх

4.

Функция, выпуклая вниз

5.

Основные определения
Точка x 0 называется точкой перегиба графика
функции у f (x) , если в любой окрестности
точки x 0 есть точки графика функции у f (x
,)
расположенные как выше, так и ниже
касательной, проведенной к графику функции
у f (x) в точке с абсциссой x 0 .

6.

Необходимое условие точки
перегиба
Если точка x 0 является точкой перегиба
графика функции у f (x) , то вторая
производная функции, вычисленная в точке x 0
равна 0.

7.

Достаточное условие экстремума
Пусть вторая производная функции у f (x)
в точке x 0 равна 0.
Точка x 0 является точкой перегиба графика
функции у f (x) , если при переходе через
точку x 0 вторая производная этой функции
меняет знак.

8.

Условия выпуклости
Если на промежутке a; b вторая производная
функции у f (x) положительна, то функция
у f (x)
на промежутке a; b выпукла
вниз.
Если на промежутке a; b вторая производная
функции у f (x) отрицательна, то функция
у f (x)
на промежутке a; b выпукла
вверх.

9.

Пример
Исследовать функцию
y x3 2 x 2 5x 4
на выпуклость, точки перегиба.
Решение.
Область определения: x R

10.

Пример
y x 2 x 5x 4
3
2
Точки перегиба определяются второй
производной функции
2
y 3x 4 x 5
y 6 x 4
y 0 :
6 x 4 0;
2
x
3

11.

Пример
y 6 x 4
2
– точка перегиба;
x
2
3
Функция выпукла вверх на ;
Функция выпукла вниз на
3
2
;
3