Решение задач Асимптота

1.

Задачи. Найти асимптоту кривой (правую x → ∞)
x3 4
1) . y =
;
2
x
2) .
3) . y = x 1 ;
2x 3
x3
4) . y =
;
2
2(x 1)
2
x2
y=
;
x 1
Задача. Найти асимптоты кривой
а) правую асимптоту : k 1 ; b1 (при x → ∞ ).
б) левую асимптоту : k 2 ; b2 (при x → - ∞ ).
5) .
y=
x3
;
x 2

2.

1. Дано:
Решение.
x3 4
Найти : k ; b .
y=
;
2
x
4
x3 4
4
y=
x 2 ; α(x) 2 ; k = 1 ; b = 0 .
2
x
x
x
2. Дано:
x2
y=
;
x 1
x
x 1 1
1
y=
x 1
;
x 1
x 1
x 1
2
Решение.
Найти : k ; b .
2
1
α(x)
; k =1 ; b =1 .
x 1

3.

x 1
y=
;
2x 3
2
3. Дано:
Найти : k ; b .
Решение.
f(x)
x2 1
x2 (1 1 / x 2 ) 1
k lim
lim 2
lim 2
;
x x
x 2x 3x
x x ( 2 3 / x )
2
x2 1 x
b lim f(x) k x lim
x
x 2x 3
2
2 x2 2 2 x2
2 3x
x( 3 2 / x)
3
lim
lim
lim
x
x 4 x 6
x
2(2 x 3)
x(4 6 / x)
4
Ответ : k = 1 / 2 ; b = -3 / 4 .

4.

x3
Найти : k ; b .
y=
;
2(x 1)2
4. Дано:
Решение.
f(x)
x2
1
x2
k lim
lim
lim 2
2
x x
x 2(x 1)
2 x x 2 x 1
1
x2
1
lim 2
;
2
2 x x (1 2 / x 1 / x ) 2

5.

x3
x
b lim f(x) k x lim
2
x
x 2(x 1)
2
1
x3 x 3 2 x 2 x
1
2 x2 x
lim
lim
2
2
2 x
(x 1)
2 x (x 1)
1
x 2 ( 2 1 / x)
lim 2
1 .
2
2 x x (1 2 / x 1 / x )
Ответ : k = 1 / 2 ; b = -1 .

6.

5. Дано:
y=
x3
;
x 2
Найти :
а) правую асимптоту : k 1 ; b1 (при x → ∞ ).
б) левую асимптоту : k 2 ; b2 (при x → - ∞ ).
Решение.
а) Правая асимптота (x → ∞)
k1 lim
x
x3
lim
2
x
( x 2) x
x
lim
x 2 x
1
1 ;
1 2 / x

7.

x3
b1 lim f(x) k 1 x lim
x
x
x
x
2
x
lim x
x lim
x
x
x
2
x
1
x 2
x x 2
x 2
2
( x x 2) x 2
x
1 ;
x
x 2
( x x 2 )( x x 2 )
( x x 2) x 2
2
x(1 1 2 / x ) 1 2 / x
;

8.

x
b1 lim x
1
x
x 2
2x
lim
1 ;
x
x(1 1 2 / x ) 1 2 / x
Ответ : k1 = 1 ; b1 = 1 .
б) Левая асимптота (x → - ∞)
y=
x3
x 2
x2 x
;
x 2
f(x)
k 2 lim
lim
x x
x
x2 x
( x 2)
;
x

9.

Замена : z x ; если x то z
k 2 lim
z
zz 2
( z 2)
lim
z
z
z
lim
1 .
z
( z 2)
zz 2
2
( z 2) z

10.

x3
b2 lim f(x) k 2 x lim
x
x
x
x
2
Замена : z x ; если x то z
zz 2
z
b2 lim
z lim z
z
z
z
z
2
z 2
z
lim z
1
z
z 2

11.

z z 2
z
1
z 2
z 2
2
z 1 2 / z 1 1 2 / z
;
z z 2
z 2
z z 2
z z 2

12.

z
b2 lim z
1
z
z 2
2 z
lim
1 ;
z
z 1 2 / z 1 1 2 / z
Ответ : k2 = - 1 ; b2 = - 1 .