Обернені задачі моделювання. Моделювання фізичних процесів

1. Обернені задачі моделювання

“Моделювання фізичних процесів ”Лекція 2
Судаков О.О.
кафедра медичної радіофізики

2. Практичні задачі моделювання

Є модель, є вхідні дані, є вихідні дані
Ми розглядали: як при заданих вхідних даних
знайти вихідні дані на основі моделі
На практиці частіше цікавить інше:
при
яких вхідних даних та заданій моделі
отримаємо задані вихідні дані?
Яка модель, що відповідає заданим вхідним та
вихідним даним?
При яких параметрах задачі досягається
найкращий результат і що це за результат?
кафедра медичної радіоф

3. Де таке виникає?

Томографічна реконструкція
Спектроскопія
Надрозрізнення
Непрямі вимірювання
Локація
…
кафедра медичної радіоф

4. Нехай є математична модель

кафедра медичної радіоф

5. Пряма задача

Пряма задача моделювання – знайти
значення характеристики при певних
значеннях параметрів моделі
кафедра медичної радіоф

6. Пряма задача термодеструкції

кафедра медичної радіоф

7. Пряма задача переносу рентгенівського випромінювання

кафедра медичної радіоф

8. Не прямі задачі

Обернена задача
Задача синтезу
Задача оптимізації
кафедра медичної радіоф

9. Обернена задача

Знайти вхідні параметри, при яких
досягаються задані вихідні значення
кафедра медичної радіоф

10. Обернена задача

Знайти функцію джерела
термодетрукції, яка задає заданий
розподіл температури при заданій
геометрії
Знайти значення параметрів речовини,
що відповідають заданому розподілу
інтенсивності – задача томографічної
реконструкції
кафедра медичної радіоф

11. Задача синтезу

Знайти модель, яка для заданих вхідних
значень дає задані вихідні значення
кафедра медичної радіоф

12. Задача синтезу для переносу рентгенівського випромінювання

Знайти яка повинна бути установка,
щоб для даного об’єкту отримати
заданий розподіл дози
кафедра медичної радіоф

13. Задача синтезу для ЯМР томографії

1.
Знайти розподіл магнітного поля
(імпульсну послідовність), при якому
на заданому об’єкті буде отримано
заданий сигнал
кафедра медичної радіоф

14. Задача оптимізації

Знайти всі параметри, при яких заданий
цільовий функціонал має екстремум
кафедра медичної радіоф

15. Оптимізація

При яких параметрах задачі, що
реалізуються на практиці, розподіл
температур не виходить за допустимі
межі і дає найкращий результат
При яких умовах, що практично
реалізуються, доза не виходить за
допустимі межі і досягається найкращий
ефект
кафедра медичної радіоф

16. Особливості не прямих задач

Може не існувати розв’язку
Може існувати багато розв’язків
Розв’язок (розв’язки) бути не стійкі, або
не відповідати здоровому глузду
кафедра медичної радіоф

17. Цікавий факт

Прямі задачі та задачі оптимізації
найчастіше розв’язуються так, як
хотілось
Обернені та задачі синтезу частіше не
розв’язуються так, як хотілось
кафедра медичної радіоф

18. Приклади нестійких задач

Часто задача має розв’язок, але
нестійка до вхідних даних, реальні
експериментальні дані завжди мають
похибку (шум):
Задача
спектроскопії
Задача проективної томографії
Розв’язання погано обумовлених та великих
систем лінійних рівнянь
кафедра медичної радіоф

19. Задача спектроскопії

кафедра медичної радіоф

20. Чому ця задача нестійка?

кафедра медичної радіоф

21. Які ще задачі нестійкі?

Інтегральні рівняння першого роду
Системи лінійних рівнянь з малим
визначником
Числове диференціювання
кафедра медичної радіоф

22. Коректно та некоректно поставлені задачі

Задача називається коректно
поставленою (за Адамаром), якщо:
Задача має розв’язок
Розв’язок єдиний
Задача стійка за вхідними параметрами
Всі інші задачі – некоректно поставлені
кафедра медичної радіоф

23. Страшна проблема

Питання: що робити, якщо виникла некоректна
задача, яка
Не має розв’язку
Має багато розв’язків
Розв’язок не стійкий, або не має смислу
Відповідь: брати і все одно розв’язувати задачу
кафедра медичної радіоф

24. Розв’язання некоректних задач

Звести задачу до коректно поставленої,
розв’язок якої близький до розв’язку
нашої задачі
Часто дуже важка проблема: не скільки
наука, скільки мистецтво
кафедра медичної радіоф

25. Співставлення за точністю

Зміна задачі змінює розв’язок
Реальні вхідні дані завжди мають похибку
Співставлення за точністю
кафедра медичної радіоф

26. Деякі методи для задач оптимізації (коректних)

Зворотне керування
Лінійне та нелінійне програмування
Методи градієнтного спуску
кафедра медичної радіоф

27. Градієнтний спуск

кафедра медичної радіоф

28. Деякі методи для зворотних задач, задач синтезу та інших некоректних

Розв’язання прямої задачі шляхом
підбору параметрів
Регуляризація за Тихоновим
Параметрична регресія
Штучні нейронні мережі
кафедра медичної радіоф

29. Регуляризація за Тихоновим

Теорема Тихонова
Якщо розв’язок заданий на компакті
(обмежена, щільна в собі множина
[наприклад, неперервна]), то задача
коректно поставлена !!!
кафедра медичної радіоф

30. Регуляризація за Тихоновим

Задача змінюється так, щоб розв’язок був
заданий на компакті і близький до розв’язку
нашої задачі:
Штучні обмеження на розв’зок:
Неперервний
Обмежений
Мінімальна
енергія
Обмежений спектр
Обмежена похідна
кафедра медичної радіоф

31. Приклади регуляризації за Тихоновим

Метод підбору
Метод квазі (псевдо) розв’язку
Псевдо-обернена матриця Мура Пенроуза
Метод заміни рівняння близьким до нього
Метод урізаного сингулярного розвинення
Метод знаходження регуляризуючого
оператора
Метод Лагранжа
Метод ітерацій
кафедра медичної радіоф

32. Метод підбору

кафедра медичної радіоф

33. Метод псевдорозв’язку

кафедра медичної радіоф

34. Псевдо-обернена матриця Мура Пенроуза

кафедра медичної радіоф

35. Метод заміни рівняння близьким до нього

кафедра медичної радіоф

36. Метод урізаного сингулярного розвинення (метод головних компонент)

Потужний метод для перевизначених або
погано обумовлених систем лінійних рівнянь
кафедра медичної радіоф

37. Метод Лагранжа

Задача замінюється варіаційної
кафедра медичної радіоф

38. Нормальний розв’язок системи лінійних рівнянь

кафедра медичної радіоф

39. Метод ітерацій

кафедра медичної радіоф

40. Метод параметричної регресії

Створюється проста модель з
невідомими параметрами
Параметри підбираються так, щоб
задовольнити умовам задачі
Підходить як для зворотних задач так і
для задач синтезу
кафедра медичної радіоф

41. Задача

При томографії твердого тіла час поперечної
релаксації дуже малий
Чи можна зменшити вплив уширення лінії за
рахунок релаксації
Чи можна за одним сигналом відновити як час
поперечної релаксаціі так і спінову густину?
кафедра медичної радіоф

42. Реконструкція спінової густини і часу поперечної релаксації за сигналом Фур’є томографа

Є сигнал томографа. Чи можна за одним
сигналом відновити як час поперечної
релаксаціі так і спінову густину?
кафедра медичної радіоф

43. Дискретизація задачі

Час і просторові координати замінюємо
дискретним набором параметрів
sk je
j
( if j j ) k
j z kj z kj e
( if j j ) k
j
За відомими відліками сигналу s знайти
спінову густину та час релаксації в
точці, що відповідає певній частоті
кафедра медичної радіоф

44. Розв’язок

Рівняння замінюємо варіаційною
задачею на екстремум
Знайти та z за відомими відліками s
Для достовірного розв’язку треба, щоб
кількість вхідних відліків була більше, або
рівна кількості параметрів
кафедра медичної радіоф

45. Метод Проні

Прямий розв’язок варіаційної задачі
складний, оскільки рівняння нелінійні
Треба хитро
Метод Проні (1796 р)
кафедра медичної радіоф

46. Метод Проні

кафедра медичної радіоф

47. Результати

Спінова густина (відносні одиниці)
Результати
25
Профілі розподілу спінової густини
20
Відновлення
Оригінал
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
Просторова координата, x (відносні одиниці)
кафедра медичної радіоф

48. Результати

Час релаксації,T (відносні одиниці)
Результати
25
Профілі розподілу часу релаксації
20
Відновлення
Оригінал
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
Просторова координата, x (відносні одиниці)
кафедра медичної радіоф

49. Висновки

Зворотні задачі та задачі синтезу – некоректні
Для розв’язку таких задач накладаються
додаткові умови
Розв’язок некоректної задачі може бути дуже
наближеним
Отримання хороших результатів – не скільки
наука, скільки мистецтво
кафедра медичної радіоф

50. Питання

кафедра медичної радіоф