Теорема косинусов

1.

2.

1.Дайте определение косинуса.
2.Значения косинусов некоторых
углов от от 0о до 90о;

3.

Впервые теорему косинусов
доказал Аль-Бируни (973 –
1048), среднеазиатский
учёный-энциклопедист и
мыслитель.

4.

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих
на
косинус
угла
между
ними.
сторон
2
a
=
C
b
A
a
c
B
2
b
+
2
c –
2bc cosA

5.

у
С (bcos A;bsin A)
b
a
Дано:
ΔАВС
АВ=с
АС=b
BC=a
Доказать:
а 2 b 2 c 2 2bc cos A
А(0;0)
c
В (с;0) х
BC a b cos A c b 2 sin 2 A
2
2
2
b 2 cos 2 A b 2 sin 2 A 2bc cos A c 2
b 2 cos 2 A sin 2 A 2bc cos A c 2
b c 2bc cos A
2
2

6.

Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный)
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
0
AB2 = BC2 + CA2 – 2 BC CA cos C
2
2
2
B
AB = BC + CA
Теорему косинусов иногда
называют обобщенной
теоремой Пифагора.
900
C
A

7.

Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
XR2 = RР2 + XР2 – 2 RР XР cosР
=
+
– 2 RX XР cosX
XР2 = RX2 + RР2 – 2 RX RР cosR
2
RР
2
RX
2
XР
R
X
Р

8.

Записать для данного
треугольника теорему
косинусов для каждой
стороны.
С
F
D
DF DC CF 2 DC CF cos C
2
2
2
DС DF CF 2 DF CF cos F
2
2
2
СF DC DF 2 DC DF cos D
2
2
2

9.

Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
№1
Найти АВ
2
2
AB2 = BC2 + AC2 – 2 BC AC cosC
В
AB2
5
?
А
3
= 41 – 40
2
AB = 41 – 20
300
4
С
3

10.

ABСD – параллелограмм. Найти ВD.
№2
2
2
Рассмотрим АВD
ВD2 = АВ2 + AD2 – 2 АВ AD cos А
ВD2
C
B
1
= 34 – 30
2
ВD2 = 19
?
3
ВD = 19
600
A
600
5
D

11.

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны
треугольника равен …
а) сумме квадратов двух других сторон, минус
произведение этих сторон на косинус угла
между ними;
б) сумме квадратов двух других его сторон;
в) сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними.

12.

2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .
а) KH;
б) HT;
в) TK.

13.

3. В треугольнике CDO известны стороны CD и
CO. Величину, какого угла необходимо знать,
чтобы найти длину стороны DO?
а) C;
б) D;
в) O.

14.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное
равенство:
а)
б)
в)

15.

16.

Найдите х
1)
2)
3)