Производные функции одной и нескольких переменных

1. Производные функции одной и нескольких переменных

1

2. Производная функции одной переменной

y
y=f(x)
y y
y
y
0
а
х
х
х x b
х
y
f ( x x ) f ( x )
y ' lim
lim
x
x 0 x
x 0
2

3. Производная функции нескольких переменных

z f x; y
x
x
x x
y - const
z x f x x; y - f x; y
'
zx
z x
z
lim
x x 0 x
y y
x - const
y y
z y f x; y y f x; y
z 'y
z y
z
lim
y y 0 y

4. Геометрический смысл

y
Се
ку
ща
я
y f (x)
y
ная
ь
л
е
т
Каса
y
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y kx b
х0
х
х
х
0х
ПриСекущая
х стремится
0 угловойзанять
коэффициен
ткасательной.
секущей Токесть,
угловому
положение
касательная есть предельное положение секущей.
коэффициен
ту касательно й.
0
4

5. Геометрический смысл

y = tg α = y (x0)
y
y = f (x)
• Уравнение
М
касательной
y y0 f ' ( x0 ) ( x x0 )
• Уравнение
нормали
1
y y0
( x x0 )
f ' ( x0 )
0
x
5

6.

Физический смысл
S
Vср.
t
или
S
V lim
t 0 t
Если s перемещение тела, а t промежуток времени ,
в течении которого выполнялось движение, то
s
средняя скорость движения.
t
При t 0 Vcр. к мгновенной скорости V (t ),
следовательно, V (t ) S (t ).
Замечание. С физической точки зрения производная функции
y = f (x) определяет в конкретной точке скорость изменения .
функции относительного независимого аргумента
6

7. Геометрический смысл

z
l1
l2
M 0 x0 ; y 0 ; z 0
точка касания
z=f(x0;y)
M0
0
x0
α
x
z=f(x;y0)
y
y0
β
f x x0 ; y0 tg
f y x0 ; y0 tgb

8. Геометрический смысл

Уравнение касательной плоскости:
P : z z 0 f x x0 ; y0 x x0 f y x0 ; y0 y y0
.
Уравнение нормали к поверхности
L:
.
x x0
y y0
z z0
f x x0 ; y0 f y x0 ; y0
1

9. Правила дифференцирования

1. с' = 0;
2. (си)' = с·и'
3. (и + v) ' = и' + v'
4. (и·v) ' = и ' v + и v '
u u ' v u v'
5. v
2
v
6. y = f (и); и = и (х) y x
'
fu u x .
9
7

10. Таблица производных

№
функция
производная
1
y = c (const)
y = 0
2
y=un
y = n u n-1 u
3
4
1
y
u
y
y'
u
1
2
u'
u
1
y'
u
2 u
5
y=au
y = au lna u
6
y=eu
y = eu u
7
y = log a u
8
y = ln u
1
y'
u'
u ln a
1
y'
u'
u
10

11.

№
функция
производная
9
y = sin u
y = cos u u
10
y = cos u
11
y = tg u
y = - sin u u
1
y =
2
cos u
12
y = ctg u
y =
1
sin
13
y = arcsin u
y =
14
y = arccos u
y =
15
y = arctg u
y =
16
y = arcctg u
u'
2
u
1
1 u2
1
1 u2
u'
u'
1
2
y =
1 u
1
1 u
u'
2
u'
u'
11

12. Логарифмическое дифференцирование

Степенно-показательная функция:
y u ( x)
V ( x)
Рекомендации. Дифференцируя функцию
(считая y – функцией, а x – переменной),
логарифмировать и применить свойства:
ln(a b) ln a ln b;
a
ln ln a ln b;
bb
ln(a ) b ln a.
12

13. Производные высших порядков функции одной переменной

Определение.
Производной второго
порядка функции
y = f (x) называется
производная от
производной первого
порядка этой же
функции:
2
d y
''
''
' '
y f ( x) 2 y
dx
3
d y
'
y 3 y ' ' ;
dx
....................
n
d y
(n)
( n 1) '
y n y
dx
'''
13

14. Производная функции, заданной параметрически

Общий вид записи функции:
x x(t ),
y y (t ).
Производная функции
если у – функция, x – переменная, то
'
t
'
t
dy y
y ,
dx x
'
x
d y y
y 2
;
dx
x
2
''
xx
' '
x t
'
t
14

15. Производная функции, заданной неявно

Общий вид: F(x, y) = 0.
1) Чтобы найти производную первого порядка необходимо:
а) продифференцировать обе части F(x, y) = 0 равенства,
считая y – функцией (y' ≠ 1),
x – переменной (x' = 1);
б) выразить y .
2) Чтобы найти производную второго порядка необходимо
найти следующую производную от производной первого
порядка,
считая y – функцией (y' ≠ 1),
y – функцией (y ) = y ,
x – переменной (x' = 1).
15

16. Производные высших порядков функции нескольких переменных

z f x; y
z
z x
x
2
z z
z 2 z
z xy
,
2 z xx
y x x y
x x x
z
z y
y
z
z 2 z
z
yx
x y y x
y y
z xy z yx
2 z
z yy .
2
y

17.

Спасибо за внимание!!!