Производная. Функции одной переменной. (Тема 3)

1. Производная

функции одной переменной

2. Основные обозначения

Функция у = f(x) задана на множестве Х
Пусть х0 Х . Найдем у0 = f(x0).
Придадим аргументу приращение Δх так,
чтобы x х0 х Х
Найдем у = f(x0+Δх).
Обозначим
y f ( x0 x) f ( x0 )
Δу - приращение функции.
y
Найдем
lim
x 0
x

3. Определение производной

Производной функции у = f(x) в точке х0
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента в этой точке
при Δх→0 (если он существует).
dy
df
Обозначения: f´(x) или y´x или
или
dx
dx
Символическая запись определения:
f ( x0 x) f ( x0 )
y
f ( x0 ) lim
lim
(*)
x 0 x
x 0
x

4. Частные случаи определения

Если в точке х0 предел (*) бесконечен, то говорят,
что в точке х0 функция имеет бесконечную
производную: f ( x0 )
Если в точке х0 предел (*) – правосторонний, т.е.
найден при Δх→0+, то найденная производная
называется правой и обозначается f ( x0 )
Аналогично определяется левая производная
функции в точке: f ( x0 )
Если функция имеет в точке производную, то она
имеет в этой точке правую и левую производные, и
все они равны между собой – достаточное
условие дифференцируемости функции.

5. Дифференцирование функции

Операция нахождения производной функции
называется дифференцированием.
Если функция имеет конечную производную в
точке, то называется дифференцируемой в этой
точке; функция, дифференцируемая в каждой
точке промежутка, называется
дифференцируемой на этом промежутке.
Дифференцируемость (гладкость) – одно из
основных свойств функции.
Если функция f(x) дифференцируема на
множестве Х, то ее производная f´(x) является
функцией, определенной на множестве Х.

6. Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Теорема: Если функция дифференцируема в
точке х0, то она в этой точке непрерывна.
Обратное утверждение неверно.
Непрерывность – необходимое условие
дифференцируемости.
Теорема: Если функция разрывна в точке, то
в этой точке ее производная бесконечна или
не существует

7. Геометрический смысл производной

Пусть
Тогда
М (х0, f(x0))
N (х0+Δх, f(x0+Δх))
Δх = МА
Δу = NА
y NА
tg
x MA
При Δх → 0 0
tg tg 0
y
tg 0
x

8. Геометрический смысл производной

Значение производной функции в точке равно
угловому коэффициенту касательной,
проведенной в данной точке к графику функции:
f ( x0 ) kкасат tg 0
Угол наклона касательной к графику в точке х0:
0 arctg _ f ( x0 )
Уравнение касательной к графику функции в
точке х0:
у f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )

9. Физический смысл производной

Механический смысл производной:
Производная s´(t0) пути по времени в момент t0
есть мгновенная скорость движения
материальной точки в момент времени.
Производная пути по времени есть скорость
движения материальной точки по прямой:
s´(t)=v(t)
Обобщенный физический смысл:
Если течение некоторого процесса описывает
функция у=f(x), то производная этой функции
f´(x) описывает скорость протекания этого
процесса.

10. Правила дифференцирования

Производная суммы равна сумме производных:
Производная произведения находится по формуле:
(u v)' u' v'
(uv)' u' v uv'
В частности, постоянный множитель выносится за
знак производной:
(сu )' с u '
Производная частного находится по формуле:
u ' v uv'
u
2
v
v
'
Производная сложной функции равна произведению
производных всех преобразований, начиная с
последнего: y f (u ), u g ( x) y' f ' (u ) g ' ( x)

11. Дифференцирование функций, заданных неявно

Если функция у от х задана уравнением F(x,y)=0,
то она задана неявно.
Для нахождения производной неявно заданной
функции, надо:
продифференцировать по х обе части уравнения;
из полученного уравнения выразить у´.
1.
2.

12. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция у от х задана уравнениями
x (t ),
_ t T
y (t ),
то говорят, что она задана параметрически (t –
параметр уравнений).
Производную функции, заданной параметрически,
находят по формуле
yt
y x
xt

13. Производные высших порядков

Производная f´(x) сама является функцией
аргумента х, для нее можно найти производную
(f´(x))´ - производная второго порядка.
2
d f
Обозначение: f´´(x) или f(2)(x) или fII(х) или
dx 2
Производная второй производной есть
производная третьего порядка и т.д.
Производной n-го порядка называется
производная от производной (n-1)-го порядка