Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей

1.

Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей.

2.

Определение двугранного угла
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не
принадлежащим одной плоскости
полуплоскостями, имеющими общую
а
границу – прямую .
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.
Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.
ребро
а
грани

3. Обозначение двугранного угла.

С
D
В
А
Угол CBDA

4.

Измерение двугранных углов. Линейный угол.
Величиной двугранного угла называется величина его
линейного угла.
В
Р
А
D
М
АВМС = Р
С
Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС

5.

Линейным углом двугранного угла называется
сечение двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной ребру.
С
О
А
D
В

6.

Способ нахождения (построения) линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного
угла
2. В гранях найти направления ( прямые)
перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные
направления параллельными им лучами с общим
началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и

7.

Величина линейного угла не зависит от выбора его
вершины на ребре двугранного угла.
B1
A1
A
O1
O
B

8.

Двугранный угол является острым , прямым или тупым,
если его линейный угол соответственно острый, прямой
или тупой.
β
β
а
а
β

9.

Аналогично тому , как и на плоскости , в
пространстве определяются смежные и
вертикальные двугранные углы.
β
а
β1
β
1
γ
а

10.

Углом между двумя пересекающимися
плоскостями называется наименьший из
двугранных углов, образованных при их
пересечении.
Угол между параллельными или совпадающими
плоскостями полагается равным нулю.

11.

α, β — плоскости
φ — двугранный угол
между плоскостями
α
φ
β

12.

Определение
Две плоскости называются перпендикулярными, если
двугранный угол между ними равен 90°
ε
ε ⏊ σ, т.к. φ = 90°
φ
σ

13.

Стена и потолок

14.

Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей)
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную
другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
M
α
A
φ
β
T
P

15.

α
a
b
β
c

16.

Задача
Дано:
ΔАВС, ∠С = 90°, АС ⊂ α, ∠ между плоскостями α
и △ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см
Найти: расстояние от В до α
Решение:
1) Построим ВК ⏊ α. Тогда КС — проекция ВС
на α
2) ВС ⏊ АС (по условию), значит, (по ТТП),
КС ⏊ АС ⇒ ∠ ВСК — линейный угол
двугранного угла АВСК, т. е. ∠ ВСК = 60°
3) Из ΔBCA по теореме Пифагора:
из ΔВКС:
B
α
K
C
A

17.

Построение лодки

18.

Построение моста

19.

Лестница