Метрические пространства

1.

* 
Определение
1.15. Пусть – метрические
пространства. Эти пространства называются
гомеоморфными, если существует функция ,
которая является биективным отображением, и
отображения и являются непрерывными в
любой точке соответственно. и в этом случае
называются гомеоморфизмами.
Пример 1.7. Пусть – метрическое
пространство, А Х. Функция
является непрерывной на .

2.

* 
1.3. Неравенства Юнга, Гельдера,
Минковского
Лемма 1.4 (неравенство Юнга). Для любых
чисел и любых p и q таких, что , выполняется
неравенство

3.

* 
Теорема
1.2 (неравенство Гельдера для
интеграла). Для любых непрерывных на
отрезке функций и любых p и q таких, что ,
выполняется неравенство

4.

* 
Теорема
1.3 (неравенство Минковского для
интеграла). Для любых непрерывных на
отрезке функций и любых p и q таких, что
выполняется неравенство

5.

* 
Теорема
1.4 (дискретное неравенство
Гельдера). Пусть Если числовые ряды
сходятся, то справедливо неравенство

6.

* 
Теорема
1.5 (дискретное неравенство
Минковского). Пусть Если числовые ряды
сходятся, то справедливо неравенство

7.

*   Дальнейшие примеры метрических
1.4.
пространств и сходимости в них.
Пример 1.8. Охарактеризовать сходимость в
пространствах: 1) Rn; 2) C[a, b].
Задача 1.5. Показать, что сходимость в
пространстве всех числовых
последовательностей s эквивалентна
покоординатной сходимости.
Определение 1.16. Метрики d и метрических
пространств называются эквивалентными, если

8.

* 
Утверждение
1.4. Если в метрических
пространствах метрики эквивалентны, то
пространства гомеоморфны.
Утверждение 1.5. Если в метрических
пространствах метрики эквивалентны, то
сходимость последовательности по одной
метрике влечет сходимость и по другой к
одному и тому же элементу.
Утверждение 1.6. В n-мерном пространстве
следующие метрики эквивалентны:

9.

* 
Пример
1.9. lp (1 р < ) – пространство всех числовых
последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд
. Метрика в этом случае определяется так:
Пример 1.10. l = m - пространство ограниченных
числовых последовательностей с метрикой
Пример 1.11. с0 - пространство сходящихся к нулю
последовательностей с той же метрикой, что и в m.

10.

* 
Пример
1.12. Пусть Х = lp. В lp сходимость по
координатам не влечёт сходимости
последовательности точек в lp.
Пример 1.13. Выяснить в каких из пространств
сходятся последовательности:

11.

*  Полные метрические пространства.
1.5.
Определение 1.17. Последовательность называется
фундаментальной последовательностью, если для , если .
Лемма 1.5 (о сходимости последовательностей). Пусть {xn}
– последовательность из метрического пространства Х.
Следующие условия эквивалентны:
1. {xn} – сходится к х;
2. Любая подпоследовательность {xn} сходится х;
3. Для любой подпоследовательности существует
подпоследовательность сходящаяся к х;
4. {xn} – фундаментальная и любая подпоследовательность
сходится к х;
5. {xn} – фундаментальная и существует
подпоследовательность , сходящаяся к х

12.

* 
Определение
1.18. Метрическое пространство Х
называется полным, если любая фундаментальная
последовательность в этом пространстве сходится к
элементу этого пространства.
Пример 1.14. Rn
Пример 1.15. С[0, 1].
Пример 1.16.

13.

* 
Определение
1.19. Пусть дано метрическое
пространство и последовательность замкнутых шаров
Такая система шаров называется вложенной, если:
1.
2. rn = 0.
Теорема 1.6 (Критерий полноты пространства). X метрическое пространство является полным тогда и
только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х
имеет не пустое пересечение (существует единственная
точка принадлежащая каждому шару системы).