Похожие презентации:
Матрицы и их виды. Действия над матрицами
1. Матрицы.
{Матрицы и их виды. Действия над матрицами.
2.
Определение: Матрица – прямоугольная таблица,образованная из элементов некоторого множества и
состоящая из m строк и n столбцов.
Обычно матрицу обозначают двойными вертикальными
черточками или круглыми скобками.
a11
a21
A
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... amn
A
a11
a21
am1
a12 ... a1n
a22 ... a2 n
...
am 2 ... amn
Если m=n матрица называется квадратной.
2
3.
Среди квадратных матриц выделяют классдиагональных матриц, т.е. матрицы, которые имеют
элементы не равные нулю только на главной
диагонали:
Если
d1 d 2 ... d n 1
то матрица называется
единичной
d1 0 ... 0
0 d 2 ... 0
D
...
0 0 ... d
n
1
0
E 0
0
0 ... 0
0 ... 0
0 1 ... 0
...
0 0 ... 1
0
1
3
4.
Матрица, у которой все элементы нулевые, получиланазвание нулевой:
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0
...
0 0 0 ... 0
Понятие нулевой матрицы можно вводить и для
неквадратных матриц .
Матрицы A и B считаются равными, если они
одинакового размера, т.е. число строк и столбцов
матрицы A соответственно равны числу строк и
столбцов матрицы B и элементы стоящие на
одинаковых местах, равны между собой .
4
5.
Основные операции, которые производятсянад матрицами:
1. Сложение матриц.
2. Вычитание матриц.
3. Умножение матрицы на число.
4. Умножение матриц
5
6.
1. Суммой двух матриц А и В, одинаковыхразмерностей, называется матрица той же размерности,
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц А и В:
a11
a21
A
a
m1
... a1n
b11
... a2 n
b21
B
b
... amn
m1
a11 b11 a12 b12
a21 b21 a22 b22
A B
...
a b
m1 m1 am 2 bm 2
a12
a22
...
am 2
b12 ... b1n
b22 ... b2 n
...
bm 2 ... bmn
... a1n b1n
... a2 n b2 n
... amn bmn 6
7.
Сумма матриц обладает следующими свойствами:1. А+В=В+А, сложение матриц коммутативно,
2. А+(В+С)=(А+В)+С, свойство ассоциативности,
3. А+0=А, где 0 – нулевая матрица той же размерности.
2. Аналогично определяется разность двух матриц:
a11 b11
a21 b21
A B
a b
m1 m1
a12 b12
a22 b22
...
am 2 bm 2
... a1n b1n
... a2 n b2 n
... a mn bmn
7
8.
3. Произведением матрицыА на число λ, называется
a11 a12
матрица, элементы которой
получаются из
A
...
соответствующих элементов
a
m1 am 2
матрицы А, путём умножения
их на число λ:
Операция произведения матрицы на число
удовлетворяет следующим свойствам:
1) 1 A A
... a1n
... amn
2) ( A) ( ) A
3) ( ) A A A 4) ( A B ) A B
5) A ( A) 0
,
Где A,B – произвольные матрицы,
-произвольные числа,
0 – нулевая матрица.8
9.
4. Произведение АВ матрицы А на матрицу Вопределяется только в том случае, когда число
столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы В.
В результате умножения получится новая матрица
C, у которой число строк будет равно числу
строк матрицы А, а число столбцов равно
числу столбцов матрицы В.
Пусть даны матрицы
a11 ... a1n
A
...
a
...
a
mn
m1
b11 ... b1k
B
...
b
...
b
nk
n1
9
10.
В таком случае произведением матрицы A на матрицуB является матрица С
c11 ... c1k
C
...
c
...
c
mk
m1
элементы которой определяются по следующему
правилу
n
cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj ai b j
1
где i=1,…,m; j=1,…,k.
10
11.
cТ.е. для получения элемента
ij
надо элементы i-строки матрицы А умножить на
соответствующие элементы j – го столбца
матрицы B и полученные произведения сложить.
Получение элемента
cij
схематично изображается так:
I
J
11
12.
Пример:Перемножить матрицы
1 0 2
0 1 3
3 2 1
1 5 3
2 4
и 6
5 1 7
Решение:
1 0 2 1 5 3
0 1 3 6 2 4
3 2 1 5 1 7
1 1 0 6 2 5 1 ( 5) 0 2 2 ( 1) 1 3 0 ( 4) 2 7
0 1 ( 1) 6 3 5 0 ( 5) ( 1) 2 3 ( 1) 0 3 ( 1) ( 4) 3 7
3 1 2 6 1 5
3
(
5
)
2
2
1
(
1
)
3
3
2
(
4
)
1
7
12
13.
11 7 179 5 25
20 12 8
Свойства умножений матриц:
1) A B B A
произведение матриц не
коммутативно;
Если AB=BA, то матрицы А и В называются
перестановочными;
13
14.
2) A ( B C ) ( A B) Cсвойство ассоциативности
3) ( A B) ( A) B
4) A ( B C ) A B A C
свойство дистрибутивности
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
A D D A (2.1)
A E E A A (2.2)
A 0 0 A 0
(2.3)
14
15.
2.2 Обратная матрица.Пусть дана
квадратная матрица:
и
a11
a21
an1
a12 ... a1n
a22 ... a2 n
...
an 2 ... ann
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
A
...
a
a
...
a
n2
nn
n1
(2.4)
определитель матрицы.
Матрица определитель которой равен нулю,
называется вырожденной (или особенной), а
матрица определитель которой отличен от нуля невырожденной (или неособенной).
15
16.
Если для данной матрицы А существует матрица Х,такая, что
(2.6)
где Е – единичная матрица, то матрица Х называется
обратной матрицей по отношению к матрице А, а
сама матрица А - обратимой.
Обратная для А матрица обозначается
1
Теорема.
Для каждой обратимой матрицы существует
только одна обратная матрица.
Доказательство.
16
17.
Пусть для матрицы А существует обратная матрица Х,тогда должно выполняться условие (2.6)
Пусть для матрицы А существует ещё одна обратная
матрица ,
тогда согласно (2.6)
Умножим слева последнее выражение на матрицу Х:
X ( A X ) X E X
Согласно свойству произведение матриц левую часть
выражения можно записать
X ( A X ) ( X A) X EX X
Т.е. получили
Что и требовалось доказать.
17
18.
Запишем выражение для обратной матрицыПусть дана квадратная
обратимая матрица А:
Найдём алгебраические
дополнения для каждого
элемента и составим
матрицу В:
a11
a21
A
a
n1
A11
A12
B
A
1n
a12
a22
...
an 2
A
1
... a1n
... a2 n
... ann
A21
A22
...
A2 n
An1
... An 2
... Ann
...
Заметим, что в i строке матрицы В расположены
алгебраические дополнения элементов j столбца
определителя. Матрицу В называют присоединенной
18
для матрицы А.
19.
Обратную матрицу можно найти по формуле1
1
A11
1 A12
1
A
1n
A21 ... An1
A22 ... An 2
...
A2 n ... Ann
19
20.
Пример:Найти матрицу обратную данной
Решение:
2 3
1
3 1 1
2
1
1
Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является
ли она вырожденной
1
2
3
7
5
0
7 5
3 1 1 1 0 0 1( 1)
5 0
1 0
2
1 1 2 1 1
6
Найдем алгебраические дополнения всех элементов
матрицы А
20
21.
2 31
3 1 1
2
1
1
3
1
3 2
2 1
11 ( 1)
1 1 0 21 ( 1) 1 1 ( 2 3) 5
1 1
3
3 1
4 1
12 ( 1)
(3 2) 1 22 ( 1) 2 1 1 6 7
2 1
3
3 1
13 ( 1)
3 2 1
2
1
4
23
1 2
( 1)
(1 4) 3
2 1
5
3
2 3
5 1
10
31 ( 1)
2 3 5 32 ( 1)
3 1
1 1
21
4
22.
33 ( 1)6
1
2
3 1
Запишем обратную
матрицу
5
5
5
0
1
1
1 7 10
5
1
3
5
Для проверки правильности решения достаточно
проверить следующее равенство:
1
A A
E
5
5 1
2 3 1 0 0
0
1
1
A A 1 7 10 3 1 1 0 1 0
5
2
0 0 1
1
3
5
1
1
22
23.
2.3 Ранг матрицы.Рассмотрим произвольную
прямоугольную матрицу:
a11 a12
a21 a22
ak 1 a k 2
a
m1 am 2
...
...
...
...
...
...
a1k
a2 k
akk
amk
... a1m
... a2 m
... akm
... amm
Возьмем в этой матрицы k строк и k столбцов.
Элементы, стоящие на пересечении этой строки и
столбца образуют квадратную матрицу.
Определитель данной матрицы называется минором
k-ого порядка
Mk
Минор M k 1 порядка k+1, который содержит в себе
минор M
k
называется окаймляющим минором.
23
24.
Если любой минорMk
а все возможные миноры
не равен нулю,
M k 1
равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен k
(rangA=k).
Отличный от нуля минор
Mk,
называют базисным минором .
24
25.
Пример:Вычислить ранг матрицы:
1 2 1 3
0
1 1
2
1 2 2 4
7 6 1 7
Решение:
Выберем минор второго порядка, находящийся в
верхнем левом углу,
12
12
M
1 2
2
0
4
Минор второго порядка не равен нулю, следовательно
ранг не менее двух.
Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие
отличный от нуля минор второго порядка. Для этого
добавим к M 12 третью строку и третий столбец.
12
25
26.
123M 123
1
2
2
0
1 3 2
1 0 0
1 2 2
124
M 123
123
M 124
1
2
5 3
1 1 ( 1)
( 6 6) 0
3 2
3 2 2
1 2 3
7 2 3
2
5 7
2
0 1 0 0 1 1 ( 1)
0
7 2
1 2 4
7 2 4
1 2 1 3 2 1
2
5 3
2 0
1 0 0
1 1 ( 1)
0
9 6
7 6 1 9 6 1
26
27.
124M 124
1 2 3
7 2 3
2
5 7
2 0 1 0
0 1 1 ( 1)
0
21 6
7 6 7
21 6 7
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор
второго порядка, равны нулю. А это значит, что
rang A=2.
Другим простым способом вычисления ранга матрицы
является метод Гаусса, основанный на элементарных
преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими
преобразованиями являются:
1.вычёркивание строки состоящей из нулей,
2.прибавление к элементам одной из строк
соответствующих элементов другой строки, умноженных
на любое число,
3.перестановку двух строк (двух параллельных рядов),
4.все строки заменить столбцами
27
28.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключаетсяв том, что при помощи элементарных преобразований
матрицу можно привести к виду:
b11
0
0
0
b12
b22
0
0
... b1n
... b2 n
... b3k ... b3n
.... ...... ...
0 bkk ... bkn
...
...
b1k
b2 k
В этой матрице все диагональные элементы
и т.д. отличны от нуля, а элементы других строк
расположенные ниже, равны нулю.
b11 , b22 , b33
Т.к. ранг не меняется при элементарных
преобразованиях, то ранг исходной матрицы будет
равен рангу данной матрицы и равен числу не
нулевых строк .
28
29.
Пример:Найти ранг матрицы:
Решение:
1
2
1
2
2
3
1
2
1
3
2
4
5
3 5
1 7
1 2
4
Добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого
были нулями. Первую строку оставим без изменения, затем первую
строку умножим на -2 и прибавим ко второй, первую строку
умножим на -1 и прибавим к третьей, и наконец, первую строку
умножим на 2 и прибавим к четвертой строке.
1
2
1
2
2
1
2
2
3
1
3
4
4
3
1
1
5 1
5 0
7
0
2 0
2
3
3 5
0
0
6 10
4
5
5 5
3 2
7 12
29
30.
Применим теперь элементарные преобразования такимобразом, чтобы в матрице все элементы второго столбца кроме
первых двух, были нулями. Умножим вторую строку на 2 и
прибавим к четвертой
1
0
0
0
2
3
3 5
0
0
0
0
5
5
3 2
3 2
4
5
Умножим третью строку на -1 и сложим с четвертой
3
4
5
1 2
0 3 5 5 5
0 0
0 3 2
0 0
0
0
0
Вычеркивая нулевую строку, получим rang A=3.
30