4.04M

Категория: $Математика$ Математика

Похожие презентации:

Числові ряди

Дійсні числа

В.В. Барковський, Н.В. Барковська. Вища математика для економістів. Навчальний посібник

Вступ до математичного аналізу. Дійсні числа. Множини. Логічні символи

Визначений інтеграл і його застосування

Рівняння математичної фізики

Спектральний аналіз. Ряд та інтеграл Фур’є

Рівняння математичної фізики

Вступ до математичного аналізу

Числові ряди

1. Глава 9. РЯДИ

§1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
1.1. Основні поняття та означення.
Геометрична прогресія. Гармонічний ряд
un u1, u2 , u3 , , un ,
Озн. Рядом називають вираз
u1 u2 u3 un un
n 1
(1)

2.

S1 u1
S2 u1 u2
S3 u1 u2 u3
Sn u1 u2 u3 un
Озн. Число un називається n-м членом ряду (1).
Озн. Число Sn називається n-ю частинною сумою ряду (1).
Озн. Якщо послідовність частинних сум {Sn} збіжна і
lim Sn S,
n
то число S називається сумою ряду (1), а ряд називається
збіжним.
S u1 u2 u3 un un
n 1
Озн. Якщо послідовність частинних сум {Sn} скінченної
границі не має, то ряд (1) називається розбіжним.

3.

Приклади
а)
1 1 1 1 1n
n 1
Sn 1 1 1 1 n
lim Sn lim n .
n
n
Ряд розбіжний.

4.

Приклади
б) 1 1 1 1 1
n 1
1
n 1
n 1
S1 1
S3 1
S5 1
S2 n 1 1
S2 0
S4 0
S6 0
S2 n 0
послідовність {Sn} границі не має, тому ряд б) розбіжний.

5.

Приклади
в)
1
1
1
1
1 2 2 3
n (n 1)
n 1 n ( n 1)
1
1
1
1
Sn
1 2 2 3 3 4
n (n 1)
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
.
n 1
2 2 3 3 4
n (n 1)
1
1
lim Sn lim 1
n
n
n 1
S 1.
Оскільки S = 1, то ряд в) збіжний і сума його дорівнює 1.

6.

Приклади
д)
1
1 1 1
1
1
2 3 4
n
n 1 n
Цей ряд називається гармонічним.
n
1
1 e
n
1
n ln 1 1
n
n 1 1
ln
n n
1
n 1
ln
n
n
1
ln n 1 ln n
n

7.

Приклади
д)
1
1 1 1
1
1
2 3 4
n
n 1 n
Цей ряд називається гармонічним.
1
ln n 1 ln n
n
1 ln 2 ln 1
1
ln 3 ln 2
2
1
ln 4 ln 3
3
1
ln 5 ln 4
4
1
ln n 1 ln n
n

8.

Приклади
д)
1
1 1 1
1
1
2 3 4
n
n 1 n
Цей ряд називається гармонічним.
Sn ln n 1
lim ln n 1
n
lim Sn
n
Отже, гармонічний ряд розбіжний.

9.

1.2. Найпростіші властивості числових рядів
1°. Якщо ряд
u
n 1
n
збіжний і має суму S, то ряд
Cu
n 1
n
також збіжний і сума його дорівнює CS (С = const).
2°. Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати.
3°. На збіжність ряду не впливає відкидання або
приєднання до нього скінченної кількості членів.
.

10.

rn un 1 un 2 un 3
u
k n 1
k
Величину rn називають n-м залишком ряду (1)
Якщо ряд збіжний
lim Sn S,
n
rn S Sn ,
lim rn 0.
n

11.

4°. Ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді,
коли збіжний (розбіжний) довільний його залишок.
5°. (Необхідна
умова збіжності ряду.)
Якщо ряд
un збіжний, то lim un 0.
n
n 1
6°. (Достатня умова розбіжності
ряду.)
un розбіжний.
Якщо lim un 0, то ряд
n
n 1

12.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
1
а)
n
n 1
1
un
n
1
lim un lim
0.
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
Sn
n
n
n
n
1
2
3
n
1
n
n.
n
Sn n
lim Sn .
n
Ряд розбіжний.

13.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
2n 1
б)
n 1 n 2
2n 1
un
n 2
2n 1
lim un lim
2 0.
n
n n 2
Ряд розбіжний.

14.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
1
в) n
n 1 2
1
Геометрична прогресія q .
2
| q | 1
Ряд збіжний.
| q | 1
— ряд збіжний
| q | 1
— ряд розбіжний

15.

1.3. Знакододатні ряди.
Достатні ознаки збіжності
Теорема 1 (ознаки порівняння).
Нехай задано два ряди з невід'ємними членами
u ,
n 1
n
(2)
v ,
n 1
n
(3)
і для всіх n виконується нерівність
un vn .
Тоді, якщо ряд (3) збіжний, то збіжний і ряд (2).
Якщо ряд (2) розбіжний, то розбіжний і ряд (3).
(4)

16.

u
n 1
v
n
n 1
n
un vn
збіжний
збіжний

17.

u
n 1
v
n
n 1
n
un vn
розбіжний
розбіжний

18.

19.

aq
n 1
n 1
1
n
n 1
збіжний при | q | 1
розбіжний при | q | 1
1
розбіжний при 1
збіжний при

20.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
1
а)
n
n
3
n 1
1
un
n 3n
1
vn n
3
1
1
n
n
n 3
3
1
n
3
n 1
геометрична прогресія
(ряд збіжний)
1
q 1
3
Ряд збіжний.

21.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
1
б)
n 1 ln( n 1)
1
un
ln( n 1)
1
1
ln( n 1) n 1
1
vn
n 1
1
n 1 n 1
гармонічний ряд (α = 1)
(ряд розбіжний)
Ряд розбіжний.

22.

Теорема 2 (гранична ознака порівняння).
Якщо задано два ряди з додатними членами
u ,
n 1
(5)
n
v ,
n 1
(6)
n
причому існує скінченна, відмінна від нуля границя
un
lim
a
n v
n
a 0, a ,
то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

23.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
tg
3n
n 1
а)
un tg
3n
1
vn
гармонічний ряд (α = 1)
n
tg
un
3
n
lim
lim
0.
n v
n
1
3
n
n
(ряд розбіжний)
Ряд розбіжний.

24.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
2n 1
б)
3
n
n 1
2n 1
un
n3
1
vn 2
n
Узагальнений гармонічний
ряд (α = 2)
(ряд збіжний)
un
2n 1 1
lim
lim
: 2 2 0.
3
n v
n
n
n
n
Ряд збіжний.

25.

Теорема 3 (ознака Д'Аламбера).
Якщо для ряду з додатними членами
u
n 1
існує границя
n
un 1
lim
l, то
n u
n
1) ряд збіжний при l 1;
2) ряд розбіжний при l 1.
(8)

26.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
а)
n2
n
2
n 1
n2
n 1
un 1
un n
2n 1
2
2
2
n
1
n 1
un 1
n 1 2
1
.
lim
lim
lim
2
n 1
2
n
n u
n
2
2n
2
n
n
2
Ряд збіжний.

27.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
б)
n!
n
2
n 1
n!
un n
2
un 1
n 1 !
2n 1
n 1
un 1
n 1 ! 2n
.
lim
lim
lim
n
1
n
2
n u
n 2
n
!
n
Ряд розбіжний.

28.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
в)
nn
n 1 n!
n 1
un 1
n 1 !
n
n 1
n 1
un 1
n 1
n!
lim
lim
lim
n
n
n
n u
n
n
n
n
1
!
n
n
n
un
n!
n 1
n
1
lim 1
n
n
e 1.
Ряд розбіжний.

29.

Теорема 4 (ознака Коші).
Якщо для ряду (8) з додатними членами існує границя
lim n un l,
n
1) ряд збіжний при l 1;
2) ряд розбіжний при l 1.
то

30.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
а)
4n
n 1 n 1
n
4n
un
n 1
n
n
lim un lim
n
n
n
n
4n
4n
4 1.
lim
n
n 1
n 1
Ряд розбіжний.

31.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
б) sin
3n
n 1
n
un sin
3n
n
n
lim un lim
n
n
n
n
sin
0 1.
sin lim
n
3n
3n
Ряд збіжний.

32.

Теорема 5 (інтегральна ознака Коші).
Нехай задано ряд
f (n)
n 1
члени якого є значеннями неперервної, додатної і
монотонно спадної функції f(x) на проміжку [ 1; +∞).
Тоді ряд (12) збіжний, якщо збіжний невласний
інтеграл
f ( x)dx,
1
і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.
(12)

33.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
2n
2
n
3
n 1
а)
2x
f ( x) 2
x 3
2
x 1;
x 2;
b
2x
2
f ( x)dx 2
dx lim ln( x 3) .
2
b
x 3
2
Ряд розбіжний.

34.

1.4. Ряди, в яких знаки членів строго
чергуються. Ознака Лейбніца
u1 u2 u3 u4 ( 1)n 1 un
(15)
un 0, n 1, 2, ...
Теорема 1 (ознака Лейбніца).
Ряд (15) збіжний, якщо
1)
un 1 un , n 1, 2, ...
(16)
2)
lim un 0.
(17)
n
При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого
його члена.

35.

1.5. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна
збіжності
u1 u2 u3 un
(19)
u1 u2 u3 un
(20)
Теорема.
Якщо ряд (20) збіжний, то збіжний і ряд (19).

36.

Приклади
Дослідити на збіжність ряди:
sin n
а)
3
n
n 1
sin n
3
n
n 1
R
sin n
un
n3
1
vn 3
n
un vn
Узагальнений гармонічний ряд (α = 3)
1
vn 3
(ряд збіжний)
n 1
n 1 n
sin n
un
(ряд збіжний)
3
n
n 1
n 1
sin n
3
Ряд збіжний.
n
n 1

37.

u1 u2 u3 un
(19)
u1 u2 u3 un
(20)
Знакозмінний ряд (19) називають абсолютно збіжним,
якщо ряд (20), утворений з модулів його членів, є збіжним.
Якщо ж ряд (19) збіжний, а ряд (20), утворений з модулів
його членів, розбіжний, то ряд (19) називають умовно
збіжним.
sin n
3
n
n 1
( 1)n
n
n 1
Ряд абсолютно збіжний.
Ряд умовно збіжний.

38.

39.

Зазначимо, що розмежування рядів на абсолютно і
умовно збіжні є досить істотним. Справа в тому, що
абсолютно збіжні ряди мають цілу низку важливих
властивостей скінченних сум, тоді як умовно збіжні ряди
таких властивостей не мають.
Наприклад, абсолютно збіжні мають переставну
властивість: будь-який ряд, утворений за допомогою
перестановки членів абсолютно збіжного ряду, також
абсолютно збіжний і має ту саму суму, що і заданий ряд.
Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають,
тому що від перестановки їхніх членів може змінитися
сума ряду і навіть утворитись розбіжний ряд.

40.

§2. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
2.1. Функціональні ряди. Поняття
рівномірної збіжності. Ознака Вейерштрасса
u1 ( x) u2 ( x) un ( x) un ( x)
(24)
n 1
x0 D
u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 ) un ( x0 )
n 1
(25)

41.

Множина всіх точок збіжності функціонального ряду
називається областю його збіжності.
Sn ( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
lim Sn ( x) S( x)
n
S( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x) ...
rn ( x) un 1 ( x) un 2 ( x)
lim rn ( x) 0
n

42.

Функціональний ряд (24) називається рівномірно
збіжним на множині D, якщо
0 N N( ) : n N x D | rn ( x) |

43.

Властивості для рівномірно збіжних рядів
• 1°. Сума членів рівномірно збіжного на деякому
проміжку ряду неперервних функцій є функція,
неперервна на цьому проміжку.
• 2°. Якщо на відрізку [a; b] функціональний ряд (24)
рівномірно збіжний і члени ряду неперервні на
[a; b], то його можна почленно інтегрувати
в межах ( ; ), де ( , ) [а; b]:
un ( x) dx un ( x)dx
n 1
n 1

44.

Властивості для рівномірно збіжних рядів
• 3°. Якщо функціональний ряд (24) збіжний на [a; b],
а його члени мають неперервні похідні u n(x),
x [а; b], n = 1, 2, … , причому ряд
u ( x)
n 1
n
рівномірно збіжний на [a; b], то заданий ряд можна
почленно диференціювати, тобто
un ( x) u n ( x)
n 1
n 1

45.

Теорема (ознака Вейєрштрасса).
Функціональний ряд (24) абсолютно і рівномірно
збіжний на відрізку [а; b], якщо існує знакододатний
збіжний числовий ряд
a
n 1
n
такий, що
un ( x) an x [a, b], n 1, 2, ...

46.

Приклади
1. Знайти область збіжності функціонального ряду:
1
n
x
n 1
1
1 1
1
2 ... n ...
n
x x
x
n 1 x
1
q
x
1
| q |
x
x ( ; 1) (1; )
1
x ( ;0) (0; )
x 1
– область збіжності ряду.

47.

Приклади
2. Дослідити на рівномірну збіжність ряд :
sin nx
n!
n 1
x , n N
sin nx sin x sin 2 x
sin nx
...
...
n!
1!
2!
n!
n 1
sin nx
1
n!
n!
1
n 1 n!
– ряд збіжний
тому заданий функціональний ряд абсолютно і
рівномірно збіжний на всій числовій осі.

48.

2.2. Поняття степеневого ряду.
Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності
степеневого ряду
Степеневим рядом, називається функціональний ряд
вигляду
a0 a1x a2 x 2 an x n
an x n
(28)
n 0
a0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0
n
2
an x x0
n 0
n
(29)

49.

Теорема Абеля.
Якщо степеневий ряд (28) збіжний при х = х0 0,
то він абсолютно збіжний для всіх значень х,
що задовольняють нерівність |x| < |x0|
Якщо при х = х1 ряд розбіжний, то він розбіжний
всюди, де |x| > |x1|.
ряд розбіжний
ряд збіжний
| x1 | | x0 |
0
ряд розбіжний
| x0 | | x1 |
x

50.

ряд розбіжний
ряд збіжний
| x1 | | x0 |
0
ряд розбіжний
| x0 | | x1 |
x

51.

Число R називають радіусом збіжності степеневого
ряду, а інтервал (–R; R) — інтервалом збіжності.
ряд розбіжний
ряд збіжний
| x1 | R| x0 |
0
an
R lim
n a
n 1
1
R lim
n n a
n
ряд розбіжний
| x0 |R | x1 |
x
(30)
(31)

52.

Приклади
1. Знайти область збіжності ряду:
1 n
x
n 0 n!
( n 1)!
an
lim ( n 1) .
R lim
lim
n
n a
n
n!
n 1
Даний ряд абсолютно збіжний на всій числовій осі.

53.

Приклади
2. Знайти область збіжності ряду:
n
nx
n 0
an
nn
R lim
lim
0.
n a
n ( n 1) n 1
n 1
Даний ряд збіжний лише в точці х = 0.

54.

Приклади
3. Знайти область збіжності ряду:
xn
n 0 2n 1
2n 3
an
R lim
lim
n
n a
2n 1
n 1
1.
Отже, (–1; 1) інтервал збіжності даного ряду.
х = –1
1 n
1 1 1
– збіжний за ознакою
1
...
Лейбніца.
3 5 7
n 0 2n 1
х=1
– розбіжний за
1
1 1 1
1 ... ознакою порівняння.
3 5 7
n 0 2n 1
Областю збіжності даного ряду є проміжок [–1; 1).

55.

Приклади
4. Знайти область збіжності ряду:
x 3 n
n 1
n2
2
an
n 1
R lim
lim
1.
2
n a
n
n
n 1
| x 3 | 1
1 3 x 1 3
1 x 3 1
4 x 2
R 1.
Отже, (–4; –2) інтервал збіжності даного ряду.

56.

х = –4
1
n 1
n
n
2
– збіжний за ознакою Лейбніца.
х = –2
1
2
n
n 1
– збіжний, (узагальнений
гармонічний ряд при α = 2).
Областю збіжності даного ряду є відрізок [–4; –2].

57.

2.3. Властивості степеневих рядів
1. Степеневий ряд
n
a
x
n
n 0
абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому
відрізку [ ; ], який цілком міститься в інтервалі
збіжності ( R; R).
2. Сума степеневого ряду (28) неперервна всередині
його інтервалу збіжності.

58.

3. Якщо межі інтегрування та лежать всередині
інтервалу збіжності ( R; R) ряду (24), то на відрізку
[ ; ] цей ряд можна почленно інтегрувати.
4. Якщо ряд (28) має інтервал збіжності ( R; R), то ряд
утворений диференціюванням ряду (28), має той
самий інтервал збіжності ( R; R);
при цьому, якщо S(х) — сума ряду (28), то
S ( x) nan x n 1 ,
n 0
x ( R; R).

59.

2.4. Ряд Тейлора
n
2
n
a
x
a
a
x
a
x
a
x
S(x )
n
0
1
2
n
n 0
R x R
a x x
n 0
n
n
0
a0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0
2
n
R x x0 R
x0 R x x0 R
f ( x) an x x0
n 0
n
(32)

60.

f (x) a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n
x x0
f ( x0 ) a0
a0 f ( x0 )
f (x) a1 2 1a2 x x0 3a3 x x0 2 nan x x0 n 1
x x0
f ( x0 ) a1
a1 f ( x0 )
1
2
f (x) 2 1a2 3 2a3 x x0 4 3a4 x x0
n(n 1)an x x0
n 2
x x0
f ( x0 ) 1 2a2
1
a2
f ( x0 )
1 2

61.

f (x) 3 2 1a3 4 3 2a4 x x0 1 5 4 3a5 x x0 2
n(n 1)( n 2)an x x0
n 3
x x0
1
a3 f ( x0 )
3!
f ( x0 ) 1 2 3a3
f IV ( x) 4 3 2a4 5 4 3 2a5 x x0 1
n(n 1)( n 2)( n 3)an x x0
n 4
x x0
f ( x0 ) 4! a4
IV
1 IV
a4 f ( x0 )
4!

62.

1
a1 f ( x0 )
1!
a0 f ( x0 )
1 IV
a4 f ( x0 )
4!
.......
1
a2 f ( x0 )
2!
1
a3 f ( x0 )
3!
1 (n)
an f ( x0 )
n!
.......
f ( x0 )
f ( x0 )
x x0
x x0 2
f (x) f ( x0 )
1!
2!
f
( n)
( x0 )
x x0 n
n!
n 0
f ( n) ( x0 )
x x0 n
n!
Ряд (33) називається рядом Тейлора функції f(x).
(33)

63.

Теорема 1.
Якщо функцію f(x) в інтервалі (x0 R; x0 + R) можна
розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний
і є рядом Тейлора даної функції.
Теорема 2.
Для того щоб ряд Тейлора (33) збігався до функції f(x)
в інтервалі (x0 R; x0 + R) необхідно і достатньо, щоб
в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків
і залишковий член її формули Тейлора прямував
до нуля при n для всіх х з цього інтервалу:
lim Rn ( x) 0
n
x x0 R; x0 R
(34)

64.

lim Rn ( x) 0
n
x x0 R; x0 R
(34)
f ( x0 )
f ( x0 )
x x0
x x0 2
f (x) f ( x0 )
1!
2!
(35)
f ( n) ( x0 )
x x0 n Rn ( x)
n!
f ( n 1) x ( x x0 )
Rn ( x)
( x x0 )n 1,
(n 1)!
0 1
(36)
— залишковий член формули Тейлора у формі Лагранжа

65.

f (x) Sn ( x) Rn ( x)
(37)
lim Sn ( x) f (x)
n
Теорема 3.
Якщо функція f(x) в інтервалі (x0 R; x0 + R) має
похідні всіх порядків та існує число М > 0 таке, що
f ( n ) ( x ) M,
x x0 R; x0 R , n 0, 1, 2, ...,
то функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора.
(38)

66.

2.5. Розкладання елементарних функцій
в ряд Маклорена
Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд
по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:
f (x)
n 0
f ( n) (0) n
x
n!
(41)
Правило розкладання функції f(x) в ряд Маклорена:
а) знайти похідні;
б) обчислити значення похідних в точці х = 0;
в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти
інтервал його збіжності;
г) визначити інтервал ( R; R), в якому залишковий член
формули Маклорена прямує до нуля (n ).

67.

n
2
3
4
x
x
x
x
x
1 ...
ex
1! 2! 3! 4!
n 0 n!
x 1
1 1 1 1
e 1 ...
1! 2! 3! 4!
x ( ; ). (42)

68.

x 3 x5 x 7
( 1)n x2 n 1
x ... x ( ; ). (43)
sin x
3! 5! 7!
n 0 ( 2n 1)!
( 1)n x2 n
x 2 x 4 x6
1 ...
cos x
2! 4! 6!
(2n)!
n 0
x ( ; ). (44)

69.

m ( ; )
1 x
m
m(m 1)...( m n 1) xn
n!
n 0
x ( 1; 1)
(45)
mx m(m 1) x 2 m(m 1)( m 2) x3
1
...
1!
2!
3!
m 2
m 3
m 1
m 1
1 x 2
1 x 3
1 2x x2
1 3x 3x 2 x 3
1
1
1 x
1 x x 2 x 3 ...
1 x
1
1
1 x x 2 x3 ...
1 x
1 x
(46)

70.

x 2 x3 x 4
( 1) n 1 x n
x ...
ln 1 x
2
3 4
n
n 0
x ( 1; 1] (47)
x 3 x5 x 7
( 1)n x2 n 1
arctg x
x ...
3 5 7
2n 1
n 0
x [ 1; 1] (48)
1 3
1 3 5
1 3 5 7
x
x
x ...
arcsin x x
2 3
2 4 5
2 4 6 7
x [ 1; 1]
x 1
1 3 5 7
1
1 3
1 3 5
1
...
2
2 3 2 4 5 2 4 6 7 2 4 6 8 9

71.

Приклади
Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу
в ряд розв'язку рівняння
y xy y
y(0) 0, y (0) 1
y (0)
y (0) 2 y (0) 3
y ( n) (0) n
y( x) y(0)
x
x
x ...
x ...
1!
2!
3!
n!
y (0) xy (0) y(0) 0 1 0 0
y xy y y xy y 2y xy
y
IV
2y y xy 3y xy
y V 3y y xy IV 4 y xy IV
y (0) 2
y IV (0) 0
y V (0) 8
1
0 2 2 3 0 4 8 5
1 3 1 5
y( x) 0 x x x x x x x x .
1!
2!
3!
4!
5!
3
15

72.

§3. РЯДИ ФУР’Є
3.1. Гармонічні коливання
Просте гармонічне коливання задається функцією
x(t ) a sin t 0 ,
t 0
(69)
a амплітуда коливання;
циклічна частота;
0 початкова фаза.
2
T
основний період функції.
Озн. Функція (69) (та її графік) називається простою
гармонікою.

73.

x(t ) A cos t B sin t
(70)
Озн. Коливання, утворені внаслідок накладання
кількох простих гармонік, називають складними
гармонічними коливаннями.
(t ) a1 sin( t 1 ) a2 sin( 2t 2 ) ... an sin( nt n )
2
2
2
...
T1
T2
Tn
1
2
n
T 2

74.

3.2. Тригонометричний ряд Фур’є.
Коефіцієнти Фур’є
Ряд виду
a0
a1 cos x b1 sin x a2 cos 2 x b2 sin 2 x ...
2
(71)
a0
an cos nx bn sin nx
an cos nx bn sin nx ...
2 n 1
називається тригонометричним рядом.
Дійсні числа a0, an, bn (n = 1, 2, …)— його коефіцієнтами.

75.

Припустимо, що ряд (71) на відрізку [– ; ] рівномірно
збіжний до функції f(х):
a0
an cos nx bn sin nx
f (x)
2 n 1
(72)
1
a0 f ( x)dx
(73)
1
an f ( x) cos nxdx, n 1, 2, ...
1
bn f ( x) sin nxdx, n 1, 2, ...
a0
an cos nx bn sin nx
f (x) ~
2 n 1
(75)
(76)
(77)

76.

a0
an cos nx bn sin nx
f (x) ~
2 n 1
(77)
Теорема 1.
Якщо функцію f(x) можна подати на відрізку [– ; ]
у вигляді рівномірно збіжного на цьому відрізку
тригонометричного ряду (77) — то цей тригонометричний
ряд єдиний і є рядом Фур'є для функції f(x).

77.

Теорема 2.
(достатня умова подання функції через її ряд Фур'є).
Нехай періодична функція f(x) з періодом 2 є кусковомонотонна і обмежена на відрізку [– ; ].
Тоді ряд Фур'є функції f(x) є збіжним на всій числовій осі.
Сума S(x) знайденого ряду дорівнює значенню функції f(x)
в усіх точках неперервності функції f(x);
якщо х0 — точка розриву функції f(x), то
f ( x0 0) f ( x0 0)
S( x0 )
;
2
в кінцевих точках відрізка [– ; ] сума ряду Фур'є набуває
значень
f ( 0) f ( 0)
S( ) S( )
.
2