Множество значений тригонометрических функций

1.

11 класс

2.

Множеством значений
каждой из функций
y=sinx и y=cosx
является отрезок
-1≤y≤1

3.

Множеством значений
каждой из функций
y=tgx и y=ctgx является
множество R всех
действительных чисел

4.

Задача 1
Найти множество значений функции
y=cos100x
Решение:
-1≤cos100x≤1
-1≤y≤1
Ответ:
1;1

5.

Задача 2
Найти множество значений функции y=2sinx+3
Решение:
2sinx+3=y
2sinx=y-3
sin x
y 3
2
-1≤sinx≤1
1
y 3
1
2
2 y 3 2
1 y 5
Ответ:
1;5

6.

Задача 3
Найти множество значений функции y=3+sinxcosx
Решение:
3+sinxcosx=y
sinxcosx=y-3
2sinxcosx=2(y-3)
sin2x=2y-6
1 sin 2x 1
1 2 y 6 1
5 2y 7
2,5 y 3,5
Ответ:
2,5;3,5

7.

Задача 4
Найти область значений функции
Решение:
y 3 sin( x ) 1
4
3 sin( x ) 1 y
4
3 sin( x ) y 1
4
y 1
sin( x )
4
3
1 sin( x ) 1
4
y 1
1
1
3
3 y 1 3
2 y 1 4
Ответ:
2;4

8.

Задача 5
2
y
4
6
cos
(x )
Найти область значений функции
4
Решение:
6(1 cos 2( x ))
4
y 4
2
y 4 3(1 cos( 2 x
2
))
y 4 3(1 sin 2 x)
y 1 3 sin 2 x
1 3 sin 2 x y
3 sin 2 x y 1
y 1
sin 2 x
3

9.

1 sin 2x 1
y 1
1
1
3
3 y 1 3
2 y 4
Ответ:
2;4

10.

Задача 6
Найти множество значений функции y 3 sin x 4 cos x
Решение:
Разделим на
2
3
2
4
5
y
3
4
sin x
cos x
5
5
5
Так как
(
3 2
4
) ( )2 1
5
5
cos
,то существует угол
такой , что
3
4
, sin
5
5
y
cos sin x sin cos x
5
y
sin( x )
5
1 sin( x ) 1
1
y
1
5
5 y 5
Ответ:
5;5

11.

Задача 7
2
2
y
3
sin
x
4
sin
x
cos
x
cos
x
Найти множество значений функции
Решение:
y
3(1 cos 2 x )
1 cos 2 x
2 sin 2 x
2
2
y 2 cos 2 x 2 sin 2 x
y 2 2 sin 2 x cos 2 x
2
2
Делим на
y 2
5
Так как (
( 1) 2
2
sin 2 x
5
5
1
cos 2 x
5
2 2
1
) (
) 2 1 ,то существует угол α такой,что
5
5
соs
2
, sin
5
1
5

12.

y 2
cos sin 2 x sin cos 2 x
5
y 2
sin( 2 x )
5
1 sin( 2 x ) 1
y 2
1
1
5
5 y 2
5
2 5 y 2 5
Ответ:
2
5 ;2
5

13.

Задача 8
y cos x sin x
4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Решение :
y (cos 2 x sin 2 x)(cos 2 x sin 2 x)
y cos 2 x sin 2 x
y cos 2 x
1 cos 2x 1
1 y 1
Наибольшее значение 1
Наименьшее значение -1
4

14.

Задача 9
Найти область значений функции
y
1
1 tg 2 x
Решение:
cos x 0
y
1
1 cos 2 x
cos 2 x
1
2
cos 2 x
2 y 1 cos 2 x
cos 2 x 2 y 1
1 cos 2x 1
cos 2 x 1

15.

1 2 y 1 1
0 2y 2
0 y 1
Ответ:
(0;1