Вычисление пределов функций

1.

Вычисление пределов функций
1 и 2 замечательные пределы функций, точки разрыва
функций

2.

1 замечательный предел
sin x
sin x
tgx
cos
x
lim sin x 1 1
lim
1; lim
lim
x 0
x 0 x
x 0
x 0
x
x
x cos x
arctgx
arcsin x
lim
1; lim
1
x 0
x
0
x
x

3.

sin kx
k;
x 0
x
lim
cos kx cos mx
lim
2
x 0
x 0
x
lim
arctg kx
k ;...
x 0
x
lim
2 sin
k m
k m
x sin
x
2
2
k m k m m k
2
2
2
;
x x
2
2 2
sin kx
sin kx x
sin kx
x
sin kx
1
k
lim
lim
lim
;
x 0 sin mx
x 0 sin mx x
x 0
x
sin mx x 0 x
sin mx m
x
lim
1 cos 2kx
2 sin 2 kx
sin kx
2
lim
lim
2
lim
2
k
;
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x
2

4.

Примеры:
1 cos 6 x 2 sin 2 3 x
x arctg 4 x
x
x arctg 4 x
1) lim
1 cos 6 x
lim
2
x 0 1 cos 6 x
1
2 3 18 x 0 1 cos 6 x x
2
x
1
arctg 4 x
1
1
4 2
lim
4
4
;
2
x 0 1 cos 6 x
x
2 9 18 9
sin 3 x
lim 2
2
x
x 0
x
sin 3 x 0 x t x t
sin 3t
lim
2) lim
3;
x x
t
0
t
0 sin 3 x sin 3 3t sin 3t
t
t 4 x x t
cos
sin
4
cos 2 x
0
lim
2
2 1;
3) lim
t t 0 t
0
0
t
2
x 4 x
4
cos 2 x cos sin
2
2 2

5.

№ 219
t x 1 x t 1
sin x 0
sin t t
lim
sin x sin t 1 sin t sin t
lim
t 0
x 1 sin 3 x
sin 3 t t
0
sin
3
x
sin
3
t
1
sin
3
t
3
sin
3
t
sin t
1
1
lim
;
t 0
t
sin 3 t 3 3
t

6.

4) № 222
2 sin
x a
x a
cos
2
2 t x a
x a
t 0 x a
sin x sin a 0
lim
x a
x a
0 x a
t
sin
2 cos t 2a 2 1 cos a cos a
lim 2
t 0
t
2
2
lim
t x a x t a
sin t cos a cos t sin a sin a
lim
t
0
t
sin x sin t a sin t cos a cos t sin a
sin t
sin a 1 cos t
cos t sin a sin a
lim
cos a
cos a lim
t 0
t
0
t
t
t
t
2 sin 2
2 t cos a
cos a sin a lim
t 0
t2

7.

5) № 224
sin t
tg x 0 t x 2 x t 2
tg t
sin t
1
1
cos t
lim
lim
lim
lim
x 2 x 2
t 0
t 0
tg
t
2
tg
t
0
t
t
t
cos
t
cos
0
6) № 226
sin x cos x 0
sin x cos x
1
lim
lim cos x
;
1 tgx
0 x cos x sin x x
2
x
4
4
4
cos x
lim
ДЗ: №№ 218; 220; 223; 227; 228;
230; 231; 233; 237; 238

8.

2 sin t 3
t x
2 sin t cos 2 cos t sin 3
2 sin x 3
3
3
3
3
2) lim
lim
lim
t
0
t
0
sin 3 x
sin 3t
x
3
sin 3 t
x t
3
3
t
2 sin 2
sin t 3 cos t 3
cos t 1
t
sin t
sin t
2
lim
lim
3
lim
3 lim
t 0
t 0
t 0
sin 3t
sin 3t
sin 3t
sin 3t
t sin 3t
2
t
2t
sin
sin
2
1
t
1
2 1
2 3 lim
2 3 lim 2 2
t 0
t 0
3
sin 3t
3
t
t sin 3t
t
1
1 1
1
t 2 3 0
3
4 3
3