Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа

1. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа.

2.

Уравнение sin x=a
sin x a; a 1.
y 1
a
0
1
x
x 2 k ;
x 2 k ;
k Z.
arcsin a

3. АРКСИНУС ЧИСЛА

Определение. Арксинусом числа a 1;1 называется
такое число
синус которого равен а
;
,
2 2
sin arcsin a a,
arcsin a ,
2
2
1 a 1

4. АРКСИНУС ЧИСЛА

• Например
2
arcsin
;
4
2
arcsin 0 0;
3
arcsin
;
3
2
2
т.к.
; sin .
2 4 2
4
2
т.к.
т.к.
0 ; sin 0 0.
2
2
3
; sin .
2 3 2
3
2

5. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

y 1
а
arcsin a
0
1
x
-а
arcsin a arcsin a
arcsin a

6. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
2
1
1
2 arcsin 3 arcsin
2 arcsin
2
2
2
2
3
13
3 2
4
6
4
3
12
1
3
2.
2 arcsin1 5 arcsin 0
arcsin
2
2
1. 3 arcsin
1
3
arcsin
2 5 0
2
2
2
1
7
2 3
6
6

7. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

2
cos 1 sin
arcsin a
arcsin a ;
2 2
cos arcsin a 1 sin arcsin a 1 a
2
2

8. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
sin(arcsina) = a
3
3
6
6
3. sin arcsin
4.
sin
arcsin
2
2
7
7
1
3
5. cos arcsin cos
2
2
6
2
2
4
2
6. cos arcsin 1 1
25
5
5
21
21
2
1
а
cos(arcsin
a)
=
25
5

9.

АРКСИНУС ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
sin arcsin a a, arcsin a ; , a 1;1
2 2
arcsin a arcsin a
cos arcsin a 1 a
2
arcsin sin , ;
2 2

10. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
5
7. tg 5 arcsin 2 tg tg tg 1
4
4
4
2
1
cos arcsin
1
3
ctg
arcsin
8.
1
3
sin arcsin
3
8
3 2 2
9
1
1
9
1
3

11. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
9. arcsin sin
5
5
arcsin sin ,
;
2
2
3 arcsin sin 2
10. arcsin sin
5
5
2
2
arcsin sin
5
5

12. Уравнение sinx=a

sin x a, a 1
y1
arcsin a
arcsin a
a
0
1
x
x arcsin a 2 k
x arcsin a 2 k , k Z
x 1 arcsin a n, n Z
n
sin x 0
sin x 1
sin x 1
x k , k Z
x 2 k , k Z
2
x 2 k , k Z
2

13. Уравнение sinx=a

x 1 arcsin a n, n Z
n
Пусть n-чётное число, n=2k, тогда
x 1 arcsin a 2 k arcsin a 2 k , k Z
2k
Пусть n-нечётное число, n=2k+1, тогда
x 1 2 k 1 arcsin a 2k 1 arcsin a 2 k , k Z
Итак
x arcsin a 2 k
x arcsin a 2 k , k Z

14. Уравнение sinx=a

• Пример
1.
1
sin 2 x
2
1
2 x arcsin 2 2 k
2 x arcsin 1 2 k
2
2
x
2 k
2 x 6 2 k
6
;
5
;
;
2 x 2 k 2 x 2 k
6
6
x 12 k
, k Z.
x 5 k
12
или
1
2 x 1 n arcsin n;
2
2 x 1 n n ;
6
n
x 1 , n Z .
12 2
n

15. Уравнение sinx=a

Пример 2.
1
sin x
4
2
1
x
arcsin
2 k
4
2
;
1
2 k
x 4 arcsin
2
x 4 4 2 k
;
x 2 k
4
4
1
x
arcsin
2 k
4
2
;
x arcsin 1 2 k
4
2
x 2 k
3
x 2 k , k Z .
2

16. Уравнение sinx=a

• Пример 2.
1
sin x
4
2
или
1
n
x 1 arcsin
n;
4
2
1
n
x 1 arcsin
n;
2 4
x 1
n 1
n, n Z .
4 4
x 2 k
3
x 2 k , k Z .
2

17. Уравнение sinx=a

• Пример 3.
3sin x 1 2 sin x 1 0
3 sin x 1 0;
2 sin x 1 0;
1
sin x ;
3
1
sin x ;
2
1
x 1 arcsin n, n Z .
3
n
1
x arcsin 2 2 k
;
x arcsin 1 2 k
2
x
2 k
6
, k Z.
x 7 2 k
6

18. Уравнение sinx=a

• Пример 4.
sin x 2 cos x sin 3 x 0
sin x sin 3x 2 cos x 0
2 sin 2 x cos x 2 cos x 0
cos x 2 sin 2 x 2 0
cos x 0
2 sin 2 x 2 0

19. Уравнение sinx=a

• Пример 4.
cos x 0
x k , k Z .
2
sin x 2 cos x sin 3 x 0
2
2 sin 2 x 2 0
2
sin 2 x
2
2 x 4 2 n
;
2 x 2 n
4
x
n
8
, n Z.
x 5 n
8