Теорема Виета

1. Теорема Виета

Цель:
Изучить теорему Виета.
Обратную к ней теорему
Научиться применять их
При решении квадратных уравнений

2. ПЛАН УРОКА

Проверка домашней работы
Математический диктант
Изучение новой темы
Работа в группах
Домашнее задание

3. Проверка домашней работы

№264(2,3)
18-(х-5)(х-4)=-2
18-(х2 - 4х -5х +20) = - 2
18 - х2 + 9х – 20 + 2=0
- х2 + 9х =0
I. Х=0 или II. –х+9=0
х=9
Ответ: 0; 9
3). (3х – 1)2 =1
9х2 -6х +1 – 1 =0
9х2 – 6х =0
3х(3х -2 )=0
3х=0 или 3х-2=0
Х=0
х=2/3
Ответ: 0; 2/3
№ 270
ах2 – 3х – 5= 0, если х1=1
а∙1 - 3∙1 – 5 =0
а–8=0
а=8
Ответ: при а=8
№ 275
х2 – 7х + k = 0, если х=- 2
( -2)2 – 7(-2) +k = 0
4 + 14 + k =0
k =- 18
Ответ: при k = - 18

4. Математический диктант

1.Уравнение какого вида называется
полным квадратным уравнением?
2.Уравнение какого вида называется
приведенным квадратным
уравнением?
3.В каком случае квадратное
уравнение имеет два одинаковых
корня?
4.Два различных корня?
5.Не имеет корней?
6.Записать формулу корней
квадратного уравнения общего вида.
7.Записать формулу корней
приведенного квадратного уравнения
8.Записать формулу корней
квадратного уравнения со вторым
четным коэффициентом.
1. ах2 +вх + с = 0, а≠0
2. х2 +px + q = 0
3. D=0
4. D>0
5. D<0
6. х в D , D b 2 4ac
1, 2
7.
2а
х1, 2
х1, 2
p
2
p2
q
4
n D1
, D1 n 2 ac
a

5. Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения

Уравнения
I. х2 – 2х – 3 = 0
II
III. Х2 - х – 12 = 0
IV Х2 + 7х + 12 = 0
V. Х2 - 8х + 15 = 0
х2 + 5х – 6 = 0
p
q
Корни х1и х1
х1+х2
х1х
-2
-3
3 и -1
2
-3
5
-6
-6 и 1
-5
-6
-1
-12
4 и -3
1
-12
7
12
-3 и -4
-7
12
-8
15
3и5
8
15
2

6.

7.

Дано : х 2 pх q 0, х1их 2 корни
уравнения
х1 х 2 p
Доказать :
х1 х 2 q
Доказательство :
p
х1 х2 (
2
p
х12
2
p2
p
q ) (
4
2
p2
q
4
2
2
p2
p
p
p
p
q)
q
q p
4
2
4
2
4
2
2
2
2
p
p
p
p
p
p
p p
х1 х2 (
q )(
q)
q
q q
2
4
2
4
2
4
4
4
2
2
2
х1 х 2 p;
х1 х 2 q

8. Применение теоремы Виета

Найти сумму и произведение корней № 147
Составьте квадратное уравнение по его корням:
I. а) 3 и 5
б) - 6 и -3
А) х2 – 8х +15=0
б) х2+ 9х + 18=0
II а) -3 и -4
а) х2 +7х + 12=0
б) -1 и -2
б) х2 + 3х + 2=0
III а) 3 и -1
а) х2 -2х -3=0
б) 7и -3
б) х2 – 4х -21 =0
IV а) -6 и 1
а) х2 + 5х -6 =0
б) 3 и -1
б) х2 -2х -3 =0
V
б) 7 и -6
б) х2 –х -42 =0
а) 1 и -5
а) х2 + 4х -5 =0

9. Теорема обратная к теореме Виета

Если сумма двух чисел равна - p, а их произведение q, то эти числа
являются корнями квадратного уравнения х2 +px + q = 0.
Пусть некоторые числа m и n таковы, что их сумма равна –p , а произведение
равно q .
Покажем, что они являются корнями данного уравнения.
Если m+n=-p, mn=q, то уравнение х2 +px + q = 0 можно записать
Х2 – (m+n)х +mn =0.
Подставив вместо х число m, получим:
m2 – (m+n)m +mn = m2- m2- mn + mn = 0 .
Значит m - корень уравнения х2 +px + q = 0.
Если теперь вместо х подставить n, то получим:
n2 – (m+n)n + mn = n2 –mn – n2 +mn = 0,
значит n - корень уравнения х2 +px + q = 0.

10. Теорема обратная помогает решать приведенное квадратное уравнение,не пользуясь формулами корней квадратного уравнения

Решим уравнение х2 +2x - 15 = 0, применяя обратную теорему.
Х1 + х2 = -2
х1∙ х2 =-15
такими числами могут быть только 3 и -5.
Действительно 3+ (-5) = -2
3∙(-5) = -15
Итак: х1= 3
х2=-5

11. Найдите корни уравнения с помощью теоремы обратной теореме Виета

II
I. Х2+17х-18=0
х2-13х+36=0
х2-17х-18=0
х2-15х+36=0
I
II.
-18 и 1
9и4
17 и -1
12 и 3
III
х2-11х+18=0
х2+20х+36=0
III.
2и9
-18 и -2
IV
х2+7х-18=0
х2+37х+36=0
IV.
-9 и 2
-36 и – 1
V
х2+9х+18=0
х2+9х-36=0
V.
-6 и -3
-12 и 3

12.

• Домашняя работа:
Параграф 8,
№148(1,2,3)
№151 (1)
№150 (1,2)

13. Понял я сейчас , друзья! Теорему свою,я придумал не зря Юный друг,ты сегодня ее изучил, При решении уравнений применил. Помни ее, не забывай, Н

Понял я сейчас , друзья!
Теорему свою,я придумал не зря
Юный друг,ты сегодня ее изучил,
При решении уравнений применил.
Помни ее, не забывай,
На уроках смело ее применяй!
От того и счастлив я, друзья,
Что живет теорема моя уж века!
Аплодисментов достойна она!