Взаимное расположение прямых в пространстве

1.

Если теорему так и не
смогли доказать, она
становится аксиомой.
Евклид
Взаимное расположение
прямых в пространстве
Занятие 25.

2. Применение аксиом

А1. Через любые три точки, не лежащие
на одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна.

3. Применение аксиом

А2. Если две точки прямой лежат в
плоскости, то все точки прямой лежат в
этой плоскости

4. Задача. Построить точку пересечения прямой МК и плоскости (АВС).

5. Задача. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

6.

Взаимное расположение прямых
Прямые
пересекающиеся
Прямая
параллельные
а
Прямые
скрещивающиеся
а
b
М
а
а∩b = М
Единственная
общая точка
М
b
b
а b
а b
Нет общих
точек
Нет общих
точек

7.

Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой
прямой, то прямые скрещивающиеся.
а
М
b
b
a∩ = M
M b
а b

8. Задача. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, и через вершину С – прямая b, не лежащая в

плоскости ромба. Докажите, что:
1) прямые а и СD пересекаются; 2) а и b – скрещивающиеся.
Решение:
1)
а BD
а (АВС)
a∩CD
в противном случае
получаем противоречие
с аксиомой
параллельности
2)
а (АВС)
b∩(ABC) = C
С а
а b

9. Задача. АВ и СD – скрещивающиеся прямые. Докажите, что ВС и АD также скрещивающиеся прямые.

Решение:
Т.к. АВ и СD – скрещивающиеся,
то у них нет общих точек. Точки
А,В,С не лежат на одной прямой.
Тогда через них проведем
плоскость (АВС).
BC (АВС)
AD∩(ABC) = A
A BC
BC AD

10. Домашнее задание:

Стр. 15-16, п.7
конспект
№ 37,
стр. 19