Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

2. Цели урока:

Ввести определение параллельных и
скрещивающихся прямых в
пространстве.
Ввести формулировки и доказать
признак и свойство скрещивающихся
прямых.

3. Расположение прямых в пространстве:

a
b
a∩b
a || b
α
a
b
Лежат в одной плоскости!
α

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ в пространстве

Две прямые называются
параллельными,
если они лежат в одной плоскости
и не пересекаются.

5.

Дан куб АВСDA1B1C1D1
???
2. Являются
лили
параллельными
АА1 и DC
C1 1. Являются
прямые
параллельными?
АА1 и DD1; АА1 и СС1 ?
Почему?
Они пересекаются?
B1
A1
D1
АА1 || DD1,
как противоположные
стороны квадрата,
С лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
B
A
D
АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1
Две прямыепоназываются
теореме о трех
скрещивающимися,
параллельных прямых.
если они не лежат в одной плоскости.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.

7.

Взаимное расположение
прямых в пространстве
Пересекающиеся прямые
Параллельные прямые
Скрещивающиеся прямые

8. Признак скрещивающихся прямых.

a
b
Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти
прямые скрещивающиеся.

9. Признак скрещивающихся прямых.

D Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ.
a
Доказать, что АВ
Скрещивается с СD
С
А
В
Доказательство:
b
Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости.
Пусть это будет плоскость β.
С и С
АВ и АВ
α совпадает с β
Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD
пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не
существует и следовательно по определению скрещивающихся
прямых АВ скрещивается с СD.
Ч.т.д.

10. Теорема:

Через каждую из двух скрещивающихся
прямых проходит плоскость, параллельная
другой плоскости, и притом только одна.
Дано: АВ скрещивается с СD.
Построить α: АВ α, СD || α.
Доказать, что α – единственная.
C
В
А
1. Через точку А проведем прямую
АЕ, АЕ || СD.
2. Прямые АВ и АЕ пересекаются
и образуют плоскость α. АВ α,
СD || α. α – единственная плоскость.
Е
3. Доказательство:
D
α – единственная по следствию из
аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ,
пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.

11. Закрепление изученного:

1. Определить взаимное
расположение прямых
A1
АВ1 и DC.
2. Указать Ответ.
взаимное
скрещивающиеся
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В
Ответ. Параллельны
3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?
A
Ответ. Да
B1
C1
D1
B
C
D

12. Задача.

Построить плоскость α, проходящую через
точку К и параллельную скрещивающимся
прямым а и b.
Построение:
b
1. Через точку К провести
а
прямую а1 || а.
2. Через точку К провести
прямую b1 || b.
а1
К
b1
3. Через пересекающиеся
прямые проведем
плоскость α. α – искомая
плоскость.

13. Задача №1

Дано: D
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
D
M
А
(АВС),
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
P
N
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
С
К
Р1
В

14. Задача №1

Дано: D
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
D
M
А
(АВС),
P
N
К
В
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
С
г) МР и AС
д) КN и AС
е) МD и BС

15. Задача №2

Дано: a || b
М
N
a
MN ∩ a = M, MN ∩α
Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.
b
α