Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

1.

«Перпендикуляр
и наклонные.
Угол между прямой и
плоскостью»

2.

Наклонная
• Наклонной, проведенной из данной точки к
данной прямой, называется отрезок,
соединяющий данную точку с любой точкой
прямой, неявляющейся основанием
перпендикуляра, опущенного из этой же
точки на данную прямую.

3.

АН - перпендикуляр, АВ, АС, АТ - наклонные. Расстоянием между точками
является длина отрезка, соединяющего эти точки. Расстоянием от точки до
прямой является длина перпендикуляра опущенного из донной точки на данную
прямую. Н основание перпендикуляра, В, С, Т. Основание наклонных.

4.

Перпендикуляр и наклонная
Пусть через точку А, не принадлежащую
плоскости p, проведена прямая,
перпендикулярная этой плоскости и
пересекающая ее в точке В. Тогда
отрезок АВ называется
перпендикуляром, опущенным из точки
А на эту плоскость, а сама точка В —
основанием этого перпендикуляра.
Любой отрезок АС, где С —
произвольная точка плоскости p,
отличная от В, называется наклонной к
этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом
определении является ортогональной
проекцией точки А, а отрезок ВС —
ортогональной проекцией наклонной AС.
Перпендикуляр и наклонная.

5.

3.что является проекцией точки на
плоскость?
4.Какая фигура получится при проекции
квадрата на плоскость?
5. Какая фигура получится при проекции
прямой на плоскость?
(если она перпендикулярна плоскости)
6. Какая фигура получится при проекции
прямой на плоскость?
(если она не перпендикулярна плоскости)

6.

Устно
• 1 . Найти расстояние от наклонной до
плоскости, если наклонная равна 5 см, а
проекция её на плоскость -3 см.

7.

Задача №1
1) АА1 = 5 – перпендикуляр к плоскости а , АВ –
наклонная. А1В=12. Найти АВ= х.

8.

MD = 13.
Задача. Прямая а
(АВС).
АС = 15, ВС = 20. АС
ВС,
МD АВ. Найти
MC.
Из треугольника АВС найдем гипотенузу
АВ. АВ=25;
Соединим точки С и D. По теореме о
трех перпендикулярах CD
перпендикулярно AB;
Следовательно, AB : AC = AC : AD.
Отсюда AD= 9;
Из треугольника ADC найдем катет DC =
12;
Из треугольника MDC по теореме
Пифагора найдем МС;
MC = 5.

9.

Перпендикуляр и наклонная
к плоскости
В
А
А1
a
Прямая a проходит через точку А
перпендикулярно к плоскости .
Точка A1- проекция точки А на
плоскость .
Отрезок AA1 называется
перпендикуляром к плоскости.
Точка A1 -основание перпендикуляра.
Точка В - произвольная точка
плоскости.
Отрезок АВ- наклонная к плоскости.
Точка В-основание наклонной.
Отрезок A1B -проекция наклонной
АВ на плоскость .
Расстояние от точки А до плоскости равно
длине этого перпендикуляра.
02.11.2021

10.

Задача№2 Прямая а перпендикулярна плоскости
АВС, угол АСВ равен 90о, АС = 4, МD=3. Найти МС.

11.

Работа в парах
№1
№2
Дано:
прямая МС (АВС),
АСВ=90
AC=4, MD=3.
Найти длину отрезка MC.
Дано: прямая MD (AВС ) ,
AD=DB
AB 2 3, MD 4
АВС- равносторонний,
02.11.2021
Найти МС.
11

12.

Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до
плоскости (не проходящей
через эту точку) называется
длина перпендикуляра,
опущенного из точки на эту
плоскость. Из теоремы о
свойствах ортогональной
проекции следует, что
расстояние от точки А до
плоскости pi равно
наименьшему расстоянию от
точки А до точек этой
плоскости.

13.

Угол между наклонной и плоскостью
Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между
прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее
ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая
параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью
считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна
плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е.
равен 90°.
Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

14.

Угол между прямой и плоскостью
Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости.
Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α,
лежат на прямой a`.Эта прямая называется проекцией прямой a на
плоскость α.
Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость
называется углом между прямой и плоскостью.

15.

7. Какой угол называют углом между прямой и
плоскостью?
• 8. Найти угол между прямой
30⁰ и плоскостью.
5 см.
75⁰
5 см.

16.

В треугольнике ABC дано: С = 90, AC =
6 см, BC = 8 см, СМ – медиана. Через
вершину С проведена прямая СК,
перпендикулярная к плоскости
треугольника АВС, причем СК = 12 см.
Найдите КМ.

17.

18.

Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС. Через центр О этого треугольника
проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно,
что AB = 16√3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния
от точек D и K до вершин А и В

19.

20.

Через
точки P и Q прямой PQ проведены
прямые, перпендикулярные плоскости α
и пересекающие ее соответственно в
точках P1 и Q1.
Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1=
21,5 см., QQ1= 33,5 см.

21.

Найти:
Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной
и той же плоскости α. Значит,
прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через
них проходит единственная плоскость PQQ1P1.
Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а
значит и прямой Р1Q1. Так как
прямые РР1 и QQ1 параллельны, а
угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q прямоугольная трапеция.
Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.
Отрезок Q1A равен отрезку РР1. Найдем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см.
Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.
.
P1Q1 = РА = 9 см.
Ответ: 9 см.

22.

Самостоятельная работа.
1 вариант.
2 вариант.
1. Треугольник
ABC –равносторонний, точка
O – его центр. Прямая OM
перпендикулярна к
плоскости ABC.
a) Докажите, что
MA=MB=MC.
б) Найдите MA, если AB=6
см,
MO=2см.
1. ABCD – квадрат, точка O –
его центр. Прямая OM
перпендикулярна к
плоскости квадрата.
а) Докажите, что
MA=MB=MC=MD.
б) Найдите MA, если AB=4
см, OM=1см.
2.Из точки к плоскости
проведены две наклонные.
Известно , что разность длин
наклонных равна 5см,а их
проекции равны 7 и 18 см.
Найдите расстояние от
данной точки до плоскости.
2.Из точки к плоскости
проведены две наклонные.
Известно , что длины
наклонных равны 25 и
30см,а разность длин их
проекций -1 см. Найдите
расстояние от данной точки
до плоскости.
22
02.11.2021

23.

Задача
Решение:
Через центр вписанной в треугольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная плоскости
треугольника. Доказать, что каждая точка этой
прямой равноудалена от сторон треугольника.
1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,
О- центр окружности,
S- точка на перпендикуляре
2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,
то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне
3)По теореме Пифагора:
S
SA AO 2 OS 2 r 2 OS 2 ,
где r-радиус вписанной окружности
А
4)
SB r 2 OS 2
5)
SC r 2 OS 2
О
В
С
Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны

24.

Выводы:
• Темы « Перпендикуляр и наклонные. Угол
между прямой и плоскостью» очень
интересные и не маловажные в изучении
геометрии. Желаю успехов в изучении их!