Линейная алгебра. Кривые второго порядка. (Часть 11)

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Линейная алгебра»,
часть 13
Оренбург 2016

2.

Линии на плоскости: основные понятия, определения, классификация
(1) или (2) :
Ф х , у 0 ,
(1)
x t ,
y t ,
(2)

3.

Линии на плоскости: основные понятия, определения, классификация
Ф х , у 0
(1)
Доказательство. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

4.

Линии первого порядка

5.

Каноническое уравнение эллипса
F1=F2 – окружность

6.

Каноническое уравнение эллипса
F1 с; 0 , F2 c;0 .
2 a 2c ,
a с
r1 M , F1 , r2 M ,F 2 .
M L r1 r2 2a

7.

r1 r2 2a ,
(4)
r1 F1M
x c 2 y 0 2 x c 2 y 2 ,
r2 F2 M
x c 2 y 0 2 x c 2 y 2 ,
x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a ,
x c 2 y 2 2a x c 2 y 2 ,
x c 2 y 2 4a2 4a x c 2 y 2 x c 2 y 2 ,
x c 2 y 2 2xc ,
a
a2 x c 2 y 2 a4 2a2 xc x2c2 ,
a 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2 a 4 x 2c 2 ,
a 2 x 2 x 2c 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2 ,
a
2 xc 4a2 4a
a с,
a 2 c 2 0,
x c 2 y 2 a2 xc ,
2
b2 a 2 c2
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ,
c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2 ,
x2
a
2
y2
b
2
1
(5)

8.

(5)
x2
a
2
y2
b
2
1
x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a
- следствие
r1 r2 2a .
r1 F1M
r2 F2 M
x2 a2 ,
x 2
y b 1 2 a 2 c 2
a
y2
x2
1 2 ,
2
b
a
2
2
x c
y
2
x c
2
(4)
2 2
x2
c
2
2
2
1 a c x x ,
a2
a2
2
c2 x2
cx
cx
a 2 xc 2 a a ,
a
a
a
2
y
2
2
r1 a
cx
,
a
r2 a
cx
,
a
2
c2 x2
cx
cx
a 2 xc 2 a a ,
a
a
a
2
x a , a c 0,
c
0 1,
a
r1 r2 2a

9.

(5)
x2
a2
y2
b2
1
Обозначения:
a c 0,
0 1,
- каноническое уравнение эллипса
c
c
e , .
a
a
b2 a 2 c 2 ;
b2
a 2 b2
1 2
,
a
a
b
1 2 .
a
a – большая полуось,
b – малая полуось.

10.

Каноническое уравнение гиперболы

11.

12.

F1 с; 0 , F2 c;0
2a 2c
M L r1 r2 2a

13.

r1 r2 2a
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2a ,
(6)
r1 F1M
x c 2 y 0 2 x c 2 y 2 ,
r2 F2 M
x c 2 y 0 2 x c 2 y 2 ,
x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a,
x c 2 y2 2a x c 2 y2 , x c 2 y 2 4a2 4a x c 2 y 2 x c 2 y 2 ,
2 xc 4a2 4a
x c 2 y 2 2xc ,
a2 x c 2 y 2 a4 2a2 xc x2c2 ,
a c,
a 2 c 2 0,
a
2
a
x c 2 y 2 a2 xc ,
a 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2 a 4 x 2c 2 ,
c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
b2 c2 a 2
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ,
x2
a2
y2
b2
1
(7)

14.

x2
a
2
y2
b
2
1
(7) - следствие
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2a
r1 r2 2a
r2
2
2
x c
r1
2
2
2 2
2 a 2 xc c x a cx a cx
y
a
a
a2
r1 a
x2 c2 x2
2
2
2
1
x
c
a
,
a2 a2
2
x c 2 y 2
1) x>0
x 2
y b 2 1 с 2 a 2
a
y 2 x2
1,
b2 a 2
2
c2 x2
cx
cx
a 2 xc 2 a a
a
a
a
2
cx
, r2 a cx a cx ,
a
a
a
2) x>0 r1 a
cx
cx
a ,
a
a
r2 a
r1 r2 2a
cx
, r1 r2 2a
a
x2 a2 ,
x a,
с a 0,
c
1,
a
сх
a.
a
r1 r2 2a

15.

x
2
a
2
y
2
b
2
- каноническое уравнение гиперболы
1
c
a
Обозначения: e ,
c
a
. b2 c 2 a 2 , с a 0
1,
b2
a 2 b2
1 2
,
a
a
b
2 1.
a

16.

Каноническое уравнение параболы

17.

p
F ;0 ,
2
p
l: x .
2
d M ,l x
2
p
r M , F FM x y 2 ,
2
2
p
p
2
x y x
2
2
M l r d
2
p
.
2
2
р
р
2
х у х ,
2
2
2
2
р р
р р
х 2 х у 2 х2 2 х ,
2 2
2 2
2
у 2 2 рх
(8)

18.

у 2 рх
2
(8)
2
p
p
2
x
y
x
2
2
- следствие
d M ,l x
х 0,
2
p
,
2
2
2
2
p
p
p
p
р
r M , F x y 2 x 2 px 2 px х 2 px x x ,
2
2
2
2
2
p 0,
r M , F x
p
2
d r

19.

у 2 2 рх
- каноническое уравнение параболы