Динамика материальной точки

1. Содержание

1. Законы Ньютона: область применимости
2. Первый закон Ньютона. Инерциальные и
неинерциальные системы отсчёта
3. Второй закон Ньютона. Импульс тела
4. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса
5. Центр масс
6. Принцип относительности Галилея. Преобразования
Галилея. Закон сложения скоростей в классической
механике. Второй закон Ньютона для неинерциальных
систем отсчёта
7. Виды сил
8. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела
9. Сила трения
10. Силы упругости
1

2. Содержание

11. Работа
12. Мощность
13. Энергия. Закон сохранения энергии
14. Кинетическая энергия
15. Потенциальная энергия в поле тяготения
16. Потенциальная энергия упругой
деформации
17. Графическое представление энергии
18. Признак потенциальности поля.
Консервативные силы. Диссипативные силы
19. Связь между консервативной силой и
потенциальной энергией
2

3.

Законы Ньютона – постулаты
являются обобщением большого количества
опытных данных
Для случая для малых скоростей (v << c) и макротел
Первый закон Ньютона
Всякому телу свойственно сохранять состояние
равномерного прямолинейного движения или
покоя, пока и поскольку другие тела не вынудят его
изменить это состояние
3

4.

Второй закон Ньютона
m
Масса - количественная мера инертности тела
F
Сила – количественная мера воздействия
одного тела на другое
Fk
k
a
m
Ускорение тела прямо
пропорционально
равнодействующей всех сил,
приложенных к телу, и обратно
пропорционально массе тела
4

5.

Второй закон Ньютона
в импульсной форме
dv F
a
m dv F dt
dt m
d m v F dt dp F dt
изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на тело силы
p m v - импульс тела
F t - импульс силы
p F t
dp
F
dt
Изменение импульса тела равно
импульсу действовавшей на тело силы
5

6.

Третий закон Ньютона
Всякое действие тел друг на друга носит характер
ВЗАИМОдействия
F12 F21
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по
величине и противоположны по направлению
Если система двух тел замкнута, по второму закону Ньютона:
dp1 F12 dt
dp2 F21 dt
d p1 p2 F12 F21 dt 0
p1 p2 const
6

7.

Закон сохранения импульса
В замкнутой системе полный импульс
сохраняется
Полный импульс системы сохраняется, даже если
есть внешние силы, но они скомпенсированы
âíåø .
0
Fk
pi const
k
i
В проекциях:
âíåø .
F
kx 0
k
pix const
i
7

8.

mi ri
rc i
m
mi m
Центр масс
Центр масс движется так, будто к ней
приложены все внешние силы, и в ней
сосредоточена вся масса системы
drc 1
dri 1
vc
mi
i
mi vi
dt m i
dt m i
p m vñ mi vi
dv ñ
dvi
m
mi
dt
dt
i
dvc
ac
dt
âíåø
d
v
d
m
v
d
p
i
i
i
i
Fi
mi
dt i dt i dt i
i
âíåø .
m ac Fi
i
8
i

9.

Принцип относительности Галилея
r r ' v 0 t
dr dr ' dt
v0
dt dt
dt
v v' v0
v àáñ. vîòí . v ïåð .
d v d v'
0
dt
dt
a a'
Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны.
все
инерциальные
системы
отсчёта эквивалентны.
Или: законы
Законы
динамики
инвариантны
относительно
динамики
инвариантны
относительно преобразований Галилея
преобразований
Галилея
9

10.

Принцип относительности Галилея
r r ' v 0 t
x x' v 0 t
y y'
Преобразования
z
z
'
Галилея
t t '
Второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчёта:
В системе К:
âíåø .
ma Fi
i
В системе К’, движущейся с ускорением
сила инерции
a0 ñonst , вводится
Fè ma0
Уравнение движения:
âíåø .
âíåø .
ma ' Fi
Fè Fi
ma0
i
i
10

11.

Виды сил
В природе существует 4 вида фундаментальных взаимодействий:
Гравитационное
Электромагнитное
Сильное (ядерные силы)
Слабое (превращения элементарных частиц)
Все виды сил (трения, упругости, вязкости,
поверхностного натяжения и т.д.) – это проявления
фундаментальных взаимодействий
11

12.

Fòÿã .
Закон всемирного тяготения
Сила тяжести
Вес тела
Fòÿæ . mg
m1m2
r2
M m
R h 2
P N (ma mg ) m( g a )
mg N ma
P m( g a)
a
P m( g a)
a
12

13.

13

14.

Сила трения
Трение
Сухое
Покоя
0 Fòð .ïîêîÿ
Скольжения
N
Вязкое
Качения
Fòð . N
14

15.

Сила упругости
Деформация
Сжатиярастяжения
Деформация тела называется упругой,
если после снятия нагрузки тело
возвращается к первоначальным размерам
и форме (можно пренебречь остаточной
деформацией).
При неупругой деформации происходит
разрыв некоторых межмолекулярных
связей и образование связей между
другими молекулами, в результате чего
изменённая форма тела сохраняется и
после снятия нагрузки
Сдвига
15

16.

Деформация сжатия-растяжения
F
S
dF
dS
||
Нормальное механическое
Í
напряжение
2 Ïà
ì
l Относительная продольная
l деформация
1
Закон Гука в локальной форме
E ||
E - модуль Юнга
l
ES
F S E || S E S
l k l
l
l
E
Í
ì
k
2
Ïà
ES
l
16

17.

17

18.

Экспериментальная зависимость механического
напряжения от относительной продольной деформации
Пределы:
Прочности
Текучести
Упругости
Пропорциональности
E ||
18

19.

19

20.

Деформация сдвига
Тангенциальное
(касательное)
механическое
напряжение
dF
dS
G
Закон Гука
для деформации сдвига
E
G
2 1 K Ï
Относительный
сдвиг
x
h
G – модуль сдвига
Связь между модулем Юнга и модулем сдвига
Kï
||
Относительное поперечное сжатие
Коэффициент Пуассона
d
d
20

21.

21

22.

Работа
F const
A F S F S cos
A Í ì Äæ
F const
dA F dS F dS cos FS dS
dA F dS
22

23.

Работа
dA F dS
2
2
1
1
2
2
A12 dA F dS F cos dS FS dS
1
1
2
A12 FS dS
1
23

24.

Мощность
Мощность – быстрота совершения работы
A
Средняя мощность Pñð.
t
P
Äæ
Âò
ñ
Мгновенная мощность
dA P dt
2
t2
1
t1
dA
P
dt
A12 dA P dt
dA F dS dS
P
F
F v
dt
dt
dt
24

25.

25

26.

Энергия
Энергия – мера взаимодействия и движения всех видов
материи
Энергия – функция состояния,
однозначно определяется состоянием системы
Изменить энергию системы можно, совершив над системой работу
Изменение энергии системы
равно работе внешних сил
W W2 W1 Aâíåøí .ñèë
A Aâíåøí .ñèë
W1 W2 A W A Äæ
Если
âíåø .
0
Fi
i
Полная энергия
замкнутой системы
сохраняется
Wïîëíàÿ const
26

27.

27

28.

Механическая энергия
Кинетическая
(энергия
движения)
Потенциальная
(энергия взаимодействия;
положения, поскольку
величина взаимодействия
зависит от положения тел)
28

29.

Кинетическая энергия
Пусть под действием внешней силы скорость тела изменяется:
изменение энергии равно работе внешних сил
2 2 dv
W W2 W1 Aâíåøí .ñèë F dS ma dS m dS
1
1
1 dt
2
2
2
v2
m
v
m
v
2
1
dS
m dv mv dv
2
2
1 dt
v
2
1
mv
Wêèí .
2
2
29

30.

Потенциальная энергия
в однородном поле тяготения
Внешняя сила сила совершает работу,
равную приращению потенциальной
энергии:
2
2
W W2 W1 Aâíåøí .ñèë F dS F dS
1
2
h2
1
h1
1
F dS mg dh mg h2 h1
Wïîò . mgh
Начало отсчёта энергии можно задавать произвольно
30

31.

Потенциальная энергия упругой деформации
Внешняя сила сила
совершает работу,
равную приращению
потенциальной энергии:
kx 2
Aâíåøí .ñèë Fâíåø .dx kx dx
0 Wïîò . Wïîò . 0
2
0
0
x
x
kx 2
Wïîò .
2
31

32.

Графическое представление энергии
Wïîëíàÿ
Wïîò . Wêèí .
mghmax mgh Wêèí .
32

33.

Графическое представление энергии
Wïîëíàÿ
Wïîò . Wêèí .
2
kxmax
kx 2
Wêèí .
2
2
33

34.

Работа в центральном поле тяготения
W W2 W1 Aâíåøí .ñèë
2 r2
F dS F dr F dr
2
1
1
r2
M m
r1
r2
M m
Wïîò .
r
dr
r1
r2
M m
r r
1
M m
M m
r1
r2
34

35.

Работа в центральном поле тяготения
M m
M m
W W2 W1 Aâíåøí .ñèë Aãðàâ.ñèë
r2
r1
Выводы:
1. Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс
M m (при r W 0 )
Wïîò .
r
2. Работа сил гравитационного поля не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
точки. Такие поля называются потенциальными
3. Потенциал гравитационного поля:
Wïîò .
m
Äæ
êã
35

36.

Признак потенциальности поля
Консервативные силы
Диссипативные силы
Сила называется консервативной, если её работа не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
тела
Поле таких сил называется потенциальным
Примеры: гравитационное поле; поле упругих сил
Если работа силы зависит от траектории, то силы называются
диссипативными
Поле таких сил – непотенциальное
Примеры: силы трения; силы вязкости; силы неупругой
деформации
При наличии диссипативных сил механическая энергия необратимо
превращается в другие виды, например, в тепловую
36

37.

Закон сохранения механической энергии
При наличии диссипативных сил закон
сохранения (изменения) механической
энергии системы при её переходе из состояния
1 в состояние 2:
W1ìåõ . W2 ìåõ . A
A ïðîòèâ
ïðîòèâ
äèññèïàòèâ íûõ
âíåøíèõ
ñèë
ñèë
В замкнутой системе механическая энергия
сохраняется, если
нет диссипативных сил, а есть только
консервативные
37

38.

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией
Система совершает работу за счёт уменьшения своей потенциальной
энергии:
dA dWïîò .
Работа силы по определению:
dA F dr
Градиент – это вектор,
компоненты которого
равны производным
по соответствующим
координатам:
F dr dWïîò .
F gradWïîò .
i j k 1
Wïîò .
Wïîò . Wïîò . Wïîò . Fx
x
gradWïîò .
i
j
k
x
y
z
38

39.

Градиент показывает быстроту изменения величины в
пространстве, направлен в сторону наибольшего возрастания
величины
F gradWïîò .
Wïîò . Wïîò . Wïîò .
gradWïîò .
i
j
k
x
y
z
Сила направлена в сторону максимального убывания
потенциальной энергии
Пример:
одномерный
случай
dWïîò .
Fx
dx
kx 2
Wïîò .
2
dWïîò .
Fóïð .
kx
dx
39

40.

Условие равновесия
В равновесном положении сила равна нулю
dWïîò .
F 0
0
dx
Энергия экстремальна
W - min
W - max
dWïîò .
Fx
dx
W убывает
Fx 0
W возрастает
Fx 0
При небольших отклонениях
от равновесия возникают
силы, возвращающие тело к
положению равновесия
При небольших отклонениях
от равновесия возникают
силы,
направленные
от
положению равновесия
40