Интегральное исчисление функции одной переменной

1.

Интегральное исчисление
функции одной переменной

2.

Неопределенный
интеграл.

3.

Функция F(x) называется первообразной
функцией для функции f(x), если F’(x) = f(x).
Совокупность всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным
интегралом
f ( x)dx F ( x) C.
f(x) - подынтегральная функция
f(x)dx – подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования

4.

Операция нахождения неопределенного
интеграла от функции называется
интегрированием функции.

5.

Свойства неопределенного интеграла:
1). f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx.
2). k f ( x)dx k f ( x)dx.
3). dF ( x ) F ( x ) C
4).
f ( x)dx f ( x)
5). d f ( x )dx f ( x )dx

6.

Таблица основных неопределенных интегралов

7.

Примеры
1/ 3 1
x
33 4
xdx x dx
C
x C.
1/ 3 1
4
1)
2)
3 4 cos xdx 3x 4sin x C.
3
1/ 3
1
3
3)
dx arcsin x 3 ln x C
2
x
1 х

8.

1
1
3
3
4) 4 x
dx
dx 4 x dx
2
2
cos x
cos x
4x4
tgx C x 4 tgx C
4
5)
x 1
1
x dx 1 x dx x ln x C

9.

Основные методы интегрирования
Метод подстановки
Метод подстановки заключается во введении
новой переменной интегрирования так,
чтобы заданный интеграл стал табличным.
Пусть требуется вычислить интеграл от
сложной функции,
f
t
dt

10.

Где t – промежуточный аргумент сложной
функции, т.е.
t u( x ), где u( x ) функция, имеющия
непрерывную производную.
Тогда
dt u ( х )dх и получаем
f (u( x))u ( х)dx f (t )dt

11.

Следствие:
1
Если f ( x)dx F ( x) C , то f (ax b)dx F (ax b) C.
a
Примеры
1.
2.
1
cos(3x 5)dx 3 sin( 3x 5) C
1
1
4 x 1dx 4 ln (4 x 1) C

12.

3.
t sin x
1
cos x
cos x
cos x dx cos2 x dx 1 sin 2 x dx dt d sin x
dt cos xdx
dt
1 t 1
1 sin x 1
ln
C ln
C.
2
1 t
2 t 1
2 sin x 1

13.

Метод интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) – функции имеющие
непрерывные производные.
Формула интегрирования по частям имеет
вид:

14.

При интегрировании по частям
необходимо
1. подынтегральное выражение
представляется в виде двух сомножителей
u(x) и dv,
2. находят v (интегрируя dv) и du
(дифференцируя и),
3. Используют формулу интегрирования по
частям.
Иногда эту формулу приходится использовать
несколько раз.

15.

Пример
1.
xe
dx
x
u x
dv e dx
du dx
v e
x
x
x e e dx x e e c
x
x
x
x

16.

2.
u ln x
dv xdx
x ln xdx
1
x
du dx v
x
2
2
x 1
2
dx
x
ln x 2 x
2
2
2
2
2
x
1
x
x
ln x xdx
ln x
c
2
2
2
4

17.

3.
u x dv cos xdx
x cos xdx du dx v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x c

18.

Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов
применяют при интегрировании
рациональных дробей.
Рациональной дробью называется дробь
вида
,
где P(x) и Q(x) являются многочленами.

19.

Рациональная дробь называется правильной,
если степень числителя P(x) ниже степени
знаменателя Q(x); в противном случае
дробь называют неправильной.
Любая правильная рациональная
дробь может быть единственным образом
представлена в виде суммы простых
рациональных дробей.

20.

Простые рациональные дроби:
1)
;
2)
, где m - целое число, больше единицы;
3)
, где квадратный трехчлен не имеет
действительных корней;
4)
, где n - целое число, больше единицы,
и квадратный трехчлен
не имеет
действительных корней.

21.

Пример
Выполнить деление многочлена на многочлен
x5 6 x3 2 x 2 4
x2 x 1

22.

23.

Тогда имеем