Интегральное исчисление функции одной переменной
Интегральное исчисление функции одной переменной
Первообразная
Первообразная
Неопределенный интеграл
Свойства неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов
Примеры табличного интегрирования
Примеры табличного интегрирования
Интегрирование методом замены переменной
Пример
Интегрирование методом замены переменной
Метод подведения под дифференциал
Метод интегрирования по частям
Типы интегралов, удобно вычисляемых методом интегрирования по частям
Примеры
Интегрирование рациональных функций
Пример
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Пример
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Свойства определенного интеграла, вытекающие из определения
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Пример
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Интегрирование методом замены переменной
Пример
Метод интегрирования по частям
Пример
Вычисление площади фигуры
Вычисление площади фигуры
Вычисление площади фигуры
Вычисление площади фигуры
Вычисление площади фигуры
Пример
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения
Пример
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы первого рода
Примеры
Несобственные интегралы второго рода
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Пример
2.56M
Категория: МатематикаМатематика

Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Интегральное исчисление функции одной переменной

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразная. Неопределенный интеграл и его
свойства.
Таблица основных интегралов.
Интегрирование методом замены переменной /
подведением под дифференциал. Метод
интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных / тригонометрических
функций, некоторых иррациональностей.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл и его свойства.
Геометрический смысл определенного интеграла.

2. Интегральное исчисление функции одной переменной

Формула Ньютона-Лейбница.
Метод замены переменной. Метод интегрирования
по частям.
Приложение определенных интегралов: вычисление
площадей фигур, длин дуг, объемов тел вращения.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3. Первообразная

Функция y=F(x) называется первообразной для
функции y=f(x) на промежутке X, если x X
выполняется равенство F ( x ) f ( x )
F ( x) tg f ( x) есть угловой
коэффициент касательной к
кривой y=F(x) в точке x
Геометрически найти первообразную для
функции f(x) означает найти такую кривую
y=F(x), что угловой коэффициент касательной
к ней в произвольной точке x равен значению
f(x) в этой точке

4. Первообразная

(об общем виде первообразной)
Если F(x) - первообразная для функции y=f(x)
на промежутке X, то все первообразные для
функции у=f(x) имеют вид F(x)+c, где с –
- произвольная постоянная

5. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции f(x)
на промежутке Х называется интеграл от функции f(x)
f ( x) dx
и обозначается
знак интеграла
f ( x ) подынтегральная функция
f ( x ) dx подынтегральное выражение
f ( x) dx F ( x) c
F ( x ) некоторая первообразная для функции f(x)
с произвольная постоянная

6. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции ( f ( x ) dx ) f ( x )
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению d ( f ( x)dx) f ( x)dx
3.
dF ( x) F ( x) c
4. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла k f ( x)dx k f ( x) dx k const
5.
( f ( x) g ( x)) dx
f ( x) dx g ( x)dx
Это свойство справедливо для любого конечного
числа слагаемых

7. Таблица основных интегралов

dx x c
1
dx tgx c
n 1
2
x
cos x
n
c
n 1 x dx
1
n 1
dx ctgx c
2
1
sin x
dx
ln
x
c
n 1
1
x
x
dx arcsin c
x
2
2
a
a
a
0
,
x
a
x
a dx ln a c, a 1
1
1
x
dx arctg c
2
2
x
x
a x
a
a
e
dx
e
c
1
1
x a
dx
ln
c
2
2
x a
2a x a
sin xdx cos x c
cos xdx sin x c
1
x2 k
dx ln x x 2 k c

8. Примеры табличного интегрирования

1.
2 33 x 2 5 x
x
3
1
6
1
2
2 3x 5 x
x
3
2
1
2
3
2
5
6
dx 2 x dx 3x dx
x
1
5 x dx 2
3 5 ln x c 4
186 x 5 ln x c
1
1
x
2
6
1
x
dx
2
3
dx
(1 x ) x
1
1
1
1
2. 4 2 2 2
dx ( 2 2 )dx 2 dx 2 dx
x x
x ( x 1)
x x 1
x
x 1
1
arctgx c
x
2
2

9. Примеры табличного интегрирования

1
5
1 5
2
2
3. (2 x 2 e )dx 2 x dx 2 dx dx e dx
x
x
x
x
1
3
1
4 2 1
2
2
2
2 x dx x dx 5 dx e dx x 5 ln x e 2 x c
x
3
x
2
2
4.
2
4 x2
x 4
dx. 2
1
x2 4
dx 2
1
4 x2
dx
x
2 ln x x 4 2 arcsin c
2
2
5. sin 3 x e
1 2 x
e c
2
2 x
dx. sin 3xdx e
2 x
1
dx cos 3x
3

10. Интегрирование методом замены переменной

Пусть функция x (t ) определена и
дифференцируема на промежутке T и X – множество
ее значений, на котором определена функция f(x).
Тогда f ( x)dx f ( (t )) (t )dt (1)

11. Пример

x
1 x dx
x t
2
x
t
t
1 1
2
1 x dx x t 1 t 2 2tdt 2 1 t 2 dt
dx 2tdt
1
2 (1
)dt 2(t arctgt ) c 2 x 2arctg x c
2
1 t

12. Интегрирование методом замены переменной

(о линейной замене переменной)
1
Если f ( x)dx F ( x) c , то f (ax b)dx F (ax b) c
a
1 5
x
dx
x
c
5
4
1 1
1
5
5
(2 x 1) dx 2 5 (2 x 1) c 10 (2 x 1) c
4

13. Метод подведения под дифференциал

Формулой замены переменной (1) можно
пользоваться и справа налево, то есть
f ( (t )) (t )dt f ( (t )) d (t ) f ( x)dx
Этот метод называется методом подведения
под дифференциал
sin x
1
1
tgxdx cos x dx cos x sin xdx cos x (cos x) dx
1
d cos x ln cos x c
cos x

14. Метод интегрирования по частям

Пусть функции u=u(x); v=v(x) дифференцируемые
функции на промежутке X. Тогда на промежутке X
выполняется формула интегрирования по частям
udv uv vdu (2)

15. Типы интегралов, удобно вычисляемых методом интегрирования по частям

kx
P
(
x
)
e
dx
P( x) sin kxdx
P( x) cos kxdx
P(x) – многочлен, k – некоторое число
Удобно положить в качестве u=P(x), а за dv обозначить
все остальные сомножители
P( x) arcsin xdx P( x) arccos xdx P( x) ln xdx
P( x)arctgxdx P( x)arcсrcсtg
Удобно положить в качестве P(x)dx= dv, а за u
обозначить все остальные сомножители
ax
e
sin bxdx
u e
ax
ax
e
cos bxdx a, b - числа
, dv - все остальные сомножители. Применить
дважды операцию интегрирования по частям.

16. Примеры

u 2 x 1 dv e3 x e3 x
3x
e
3x
3x
(
2
x
1
)
e
dx
(2 x 1) 2dx
e
3
du 2dx v
3
3
e3 x
e3 x
1
2 3x
3x
(2 x 1)
2dx (2 x 1)e e с
3
3
3
9
u ln x
ln xdx du 1 dx
x
x ln x x c
dv dx
1
x ln x x dx
v x
x

17. Интегрирование рациональных функций

R
(
x
)
dx
P( x)
R( x)
- рациональная функция, где
Q( x)
P( x) a0 x a1 x
n
n 1
... an 1 x an ,
ai R, i 0, n - многочлен степени n
Q ( x )- многочлен (возможно степени, отличной от n)
P( x)
Если дробь
неправильная, то можно выполнить
Q( x)
деление с остатком и представить R(x) в виде суммы
некоторого многочлена и правильной дроби

18. Пример

3
x3
dx
2
x 4
x
R( x) 2
- неправильная дробь
x 4
3
x
4x
R( x) 2
x 2
x 4
x 4
3
x
4x
4x
x 2 4 dx ( x x 2 4 )dx xdx x 2 4 dx
2
1 2
( x 4)
1 2
1
2
x 2 2
dx x 2 2
d ( x 4)
2
x 4
2
x 4
1 2
2
x 2 ln x 4 c
2

19. Интегрирование рациональных функций

P
(
x
)
Всякая правильная дробь
может быть
Q( x)
представлена в виде суммы простейших
дробей вида:
A
B
Cx D
Mx N
,
, 2
, 2
n
m
x a ( x a) x px q ( x px q)
где A,B,C,D,M,N – некоторые действительные
числа;
a – число, при котором Q(x)=0;
2
p,q – числа, при которых x px q 0

20. Интегрирование тригонометрических функций

R(sin
x, cos x ) dx
R- рациональная функция
Универсальная тригонометрическая подстановка
Замена сводит подынтегральную функцию к
рациональной дроби
2tg
x
t tg
2
x
2t
sin x
2
x
1 t
1 tg 2
2
2
x 2arctgt
x
x
1 tg
2
1 t
2
cos x
2
x
1 t
1 tg 2
2
2
1
dx 2
dt
2
1 t

21. Пример

dx
8 4 sin x 7 cos x
dx
x
8tg
2
x
1 tg
2
8
7
2 x
2 x
1 tg
1 tg
2
2
2
2
dt
dt
1
t
dt 2 2
2
2
8t
7(1 t )
t 8t 15
(t 5)(t 3)
8
2
1 t
1 t 2
1
1
1
1
2
2
2 (
)dt (
)dt ln t 5 ln t 3 c
t 5 t 3
t 5 t 3
x
tg 5
t 5
2
ln
c ln
c
x
t 3
tg 3
2
2

22. Интегрирование тригонометрических функций

ПОДСТАНОВКА
Интегралы вида
t tgx.
R(tgx )dx
могут быть
рационализированы подстановкой t tgx.
Интегралы вида
R sin x, cos x dx,
где R sin x , cos x R sin x , cos x также
вычисляются подстановкой t tgx. или t ctgx.
2
t
1
2
2
t tgx , (cos x
, sin x
)
2
2
1 t
1 t

23. Интегрирование тригонометрических функций

R(sin
x, cos x ) dx
t cos x
R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) t sin x
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x)
sin x t
cos 3 x
1 sin 2 x
sin 4 x dx sin 4 x d sin x cos xdx dt
5
3
1 1
t
t
1
1
( 4 2 )dt
c 5 3 c
t
t
5 3
5t
3t
1
1
c
5
3
5 sin x 3 sin x

24. Интегрирование тригонометрических функций

sin
а) Если
m
n
x cos xdx.
m или n - целое положительное нечётное число,
то производится "расщепление" нечётной степени. Например,
2
3
sin
x
cos
xdx.
Если
m и n
целые положительные чётные числа, то
используются формулы понижения порядка
1 cos 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x
2
cos x
, sin x
, sin x cos x
2
2
2
2

25. Интегрирование тригонометрических функций

sin
x
cos
xdx
Интегралы такого вида вычисляются путём
преобразования произведений в сумму с
помощью тригонометрических формул:
1
sin cos (sin( ) sin( ));
2
1
cos cos (cos( ) cos( ));
2
1
sin sin (cos( ) cos( )).
2

26. Определенный интеграл

Пусть функция y =f(x) определена на отрезке
[a,b], где a<b
1. Разобьем отрезок [a,b] точками x0=a<x1< x2<…<xn-1<
<xn=b на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2],…, [xn-1, xn].
2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] i 1, n выберем
произвольную точку сi xi 1 , xi и вычислим значение функции
f(ci) в этой точке i 1, n
3. Обозначим xi xi xi 1 и вычислим произведение
f (ci ) xi , i 1, n
с1
a x0 x1
с2
x2
.....
сn
xn 1 b xn

27. Определенный интеграл

4. Составим сумму Sn всех таких произведений,
то есть
n
S n f (c1 ) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn
f (ci ) xi (1)
i 1
Сумма Sn вида (1) называется интегральной суммой
функции y=f(x) на отрезке [a,b]
Обозначим через max xi - максимальную длину
1 i n
отрезка разбиения.
5. Найдем предел интегральной суммы Sn при
что 0
n так,

28.

Определенный интеграл
Если предел интегральной суммы Sn при n так,
что 0 существует, конечен и не зависит от способа
разбиения отрезка [a,b] и способа выбора точек c1, c2,
… cn,то этот предел называется определенным
интегралом от функции
y=f(x) на отрезке [a,b] и
b
обозначается
f ( x)dx
a
знак интеграла
f ( x ) подынтегральная функция
f ( x ) dx подынтегральное выражение
a, b нижний и верхний предел интегрирования
[ a, b] область интегрирования

29. Определенный интеграл

b
a
f ( x ) dx lim
n
f (c ) x
n
( 0 ) i 1
i
i
(2)
Функция y=f(x), для которой существует предел
вида (2) называется интегрируемой на отрезке [a,b]

30. Свойства определенного интеграла, вытекающие из определения

Определенный интеграл не зависит от
переменной интегрирования, т.е.
1. обозначения
b
b
b
f ( x)dx f (t )dt f ( z )dz
a
2.
a
a
Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю, т.е.
a
f ( x)dx 0
a
b
3.
Для c R
cdx c (b a)
a

31. Геометрический смысл определенного интеграла

y=f(x) 0 - непрерывная неотрицательная функция,
заданная на отрезке [a,b] a<b

32. Геометрический смысл определенного интеграла

Фигура, ограниченная сверху графиком функции y =f(x),
снизу осью OX, сбоку прямыми x=a и x=b называется
криволинейной трапецией.
1. Разобьем отрезок [a,b] точками x0=a<x1< x2<…<xn-1<
<xn=b на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2],…, [xn-1, xn].
2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] i 1, n выберем
произвольную точку сi xi 1 , xi и вычислим значение функции
f(ci) для всех i 1, n
3. Обозначим xi xi xi 1 и рассмотрим f (ci ) xi - площадь
прямоугольника с высотой f (ci ) и длиной основания xi , где
i 1, n
4. Сумма произведений площадей таких прямоугольников
n
f (c1 ) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn f (ci ) xi
i 1
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно
равна
площади криволинейной трапеции

33. Геометрический смысл определенного интеграла

n
S f (ci ) xi - площадь криволинейной трапеции
i 1
Обозначим через max xi - максимальную длину
1 i n
отрезка разбиения.
5. С уменьшением точность приближения криволинейной
трапеции ступенчатой фигурой увеличивается, то есть
n
S n f (ci ) xi S при n так, что 0
i 1
S lim S n lim
n
( 0 )
b
n
f (c ) x f ( x)dx
n
( 0 ) i 1
i
i
a
Определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции численно равен площади
криволинейной трапеции.

34. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –
-какая-либо ее первообразная на отрезке [a,b], то имеет
место формула
Ньютона-Лейбница
b
b
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
a

35. Пример

2
1
2 4 x 2 dx
2
1
1
x
2 4 x 2 dx 2 arctg 2
1
( )
2 4 4
4
2
2
1
(arctg1 arctg ( 1))
2

36. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1
Если с – постоянное число и функция f(x)
интегрируема на отрезке [a,b], то
b
b
cf ( x)dx c
a
f ( x)dx
a
Свойство 2
Если функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на отрезке
[a,b], то интегрируема на этом отрезке их сумма
b
( f
1
a
b
( x) f 2 ( x)) dx
a
b
f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a
Это свойство распространяется на сумму любого
конечного числа слагаемых

37. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 3
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
Свойство 4
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]
и a<c<b, то
с
b
a
f ( x)dx
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
с

38. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 5
(теорема о среднем)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
, то с a, b , что
b
f ( x)dx f (c) (b a)
a
Свойство 6
Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a,b],
b
где a<b, то
f ( x)dx имеет тот же знак, что и
a
f ( x ) 0 для
функция f(x), то есть если
b
x a, b , то f ( x)dx 0
a

39. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 7
Неравенство между непрерывными на отрезке [a,b]
функциями можно интегрировать
Если f1 ( x) f 2 ( x), x a, b , то
b
a
b
f1 ( x)dx
a
f 2 ( x)dx

40. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 8
(Оценка интеграла)
Если m и M соответствующее наименьшее и
наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b]
(a<b), то есть m f ( x) M для x a, b ,то
b
b
mdx
a
m(b a)
a
b
a
b
f ( x)dx
Mdx
a
f ( x)dx M (b a)

41. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 9
Производная определенного интеграла с
переменным верхнем пределом по этому пределу
равна подынтегральной
функции для этого предела,
x
то есть ( f (t )dt ) f ( x)
x
a

42. Интегрирование методом замены переменной

Если: 1) функция x (t ) и ее производная x (t )
непрерывны при t ,
2) множеством значений функции x (t )при
t , является отрезок [a,b]
3) ( ) a, ( ) b
b
Тогда
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
(1)
a
1. При вычислении определенного интеграла
методом замены переменной возвращаться к
старой переменной не надо.
2.Необходимо менять пределы интегрирования
при замене переменной.

43. Пример

2
2
x
4 x 2 dx
1
x 2 sin t x 2 4 sin 2 t
dx 2 cos tdt
2
2
2
x
4
x
dx
0
2
2
x 0 2 sin t 0 t 0
x 2 2 sin t 2 t
2
2
2
4 sin 2 t 4 cos 2 tdt
0
2
2
1 cos 4t
1 cos 4t
1
4 sin 2tdt 4
dt 4 (
)dt 2 dt cos 4td 4t
2
2
2
20
0
0
0
0
2
1
2t 2 sin 4t 2
0 2
0

44. Метод интегрирования по частям

Если функции u=u(x); v=v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a,b], то справедлива
формула интегрирования по частям
b
b
b
(5)
udv uv a vdu
a
a

45. Пример

e
x
ln
xdx
2
1
1
u ln x du dx
e
e
e 1 2
1 3
2
x
x ln x x dx
3
0 x ln xdx
x
1 31
3
2
dv x dx v
3
3
1 3 1 x e 1 3 1 3 1 2 3 1
e
e e e
3
3 3 1 3
9
9 9
9

46. Вычисление площади фигуры

Пусть на отрезке [a,b] заданы непрерывные функции
f1 ( x) и f 2 ( x) такие, что f 2 ( x) f1 ( x)
Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми
f1 ( x) и f 2 ( x) на отрезке [a,b] вычисляется по формуле
b
S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx
a

47. Вычисление площади фигуры

f 2 ( x) f1 ( x) 0
1.
y f 2 ( x)
y f1 ( x)
a
b
b
b
b
a
a
a
S SaA2 B2b SaA1B1b f 2 ( x)dx f1 ( x)dx ( f 2 ( x) f1 ( x))dx

48. Вычисление площади фигуры

0 f 2 ( x) f1 ( x)
2.
b
b
b
a
a
a
S SaA1B1b SaA2 B2b f1 ( x)dx ( f 2 ( x)dx) ( f 2 ( x) f1 ( x))dx

49. Вычисление площади фигуры

3.
f 2 ( x) f1 ( x), f 2 ( x) 0, f1 ( x) 0
b
b
b
a
a
a
S SaA2 B2b SaA1B1b f 2 ( x)dx ( f1 ( x)dx) ( f 2 ( x) f1 ( x))dx

50. Вычисление площади фигуры

4.
Сводится к случаем 1, 2, 3 путем разбиения отрезка
[a,b] на отдельные отрезки [a,c], [c,d], [d,b]

51. Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y x 2 и параболой y 4 x
2
2
S (4 x x 2)dx
2
3
2
(6 x x)dx
2
3
x 2 x3 2
5
(6 x )
20
2 3 3
6
5 2
S 20 ед
6

52. Вычисление объема тела вращения

Пусть функция y=f(x) непрерывна и неотрицательна
на отрезке [a,b].
Тогда тело, которое образуется при вращении вокруг
оси OX криволинейной трапеции aABb, имеет объем:
b
Vx f ( x)dx
2
a

53. Вычисление объема тела вращения

b
Vx f 2 ( x)dx
a
1. Разобьем отрезок [a,b] точками x0=a<x1< x2<…<xn-1<
<xn=b на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2],…, [xn-1, xn].
2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] i 1, n построим
прямоугольник MPQN. Выберем произвольную точку сi xi 1 , xi
i 1, n
3. При вращении вокруг оси ОХ прямоугольник MPQN опишет
цилиндр, объем которого будет равен f 2 (ci ) xi , где
xi xi nxi 1 - высота цилиндра, f (ci ) - радиус основания
4. Сумма f 2 (c ) x является приближением для искомого
i 1
объема
i
Vx lim
max xi 0
i
i
n
b
i 1
a
2
2
f
(
c
)
x
f
i
i
( x)dx

54. Вычисление объема тела вращения

55. Вычисление объема тела вращения

Пусть функция y=f(x) непрерывна и неотрицательна
на отрезке [a,b].
Тогда тело, которое образуется при вращении вокруг
оси OY криволинейной трапеции, имеет объем:
d
Vy ( y)dy
2
c

56. Пример

Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси ОY фигуры, ограниченной линиями
2
x
y , x 0, y 2 2
2
Vy
2 2
2 ydy
0
y
2
2 2
0
8
Vy 8 (ед )
3

57. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы
определенные интегралы
от непрерывной функции, с
бесконечным промежутком
интегрирования
определенные интегралы
с конечным промежутком
интегрирования, но для
функции, имеющей на
нем бесконечный разрыв

58. Несобственные интегралы первого рода

Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке
[ a, ) . Если существует конечный предел вида
b
lim
b
f ( x)dx
, то его называют несобственным
a
интегралом первого рода и обозначают
f ( x)dx
a
b
lim
b
f ( x)dx
a
Если существует конечный предел, то говорят, что
несобственный интеграл сходится, в противном
случае (не существует или бесконечен) - расходится

59. Несобственные интегралы первого рода

f ( x)dx
a
b
lim
b
f ( x)dx
a
Если непрерывная функция f ( x ) 0 на промежутке
[ a, ) и интеграл
f ( x)dx сходится, то он выражает
a
площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

60. Несобственные интегралы первого рода

Несобственный интеграл на промежутке ( , b]
b
f ( x)dx
b
lim
a
f ( x)dx
a
Несобственный интеграл с двумя бесконечными
пределами
с
с
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
С – произвольное число

61. Примеры

b
dx
1b
1
2
x dx lim
lim ( 1) 1
1 x 2 blim
b x 1
b b
1
интеграл сходится
0
0
0
cos xdx lim cos xdx lim sin x a lim (0 sin a)
a
a
a
a
lim sin a - не существует – интеграл расходится
a

62. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке
[a, b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если
существует конечный предел
вида
b
lim
0
f ( x)dx
a
то его называют несобственным интегралом второго
рода и обозначают
b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
a
0
a
Если существует конечный предел, то говорят, что
несобственный интеграл сходится, в противном случае (не
существует или бесконечен) - расходится

63. Несобственные интегралы первого рода

b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
a
0
a
Если функция f(x)>0 на промежутке [a,b] и интеграл
b
f ( x)dx
сходится, то он выражает
a
площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

64. Несобственные интегралы второго рода

Функция y=f(x) терпит бесконечный разрыв в
точке x=a
b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
0
a
a
Функция y=f(x) терпит разрыв во внутренней
точке с отрезка [a,b]
b
с
b
a
a
с
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

65. Пример

1
0
1
0
1
1
2
dx
x
1
2
1
dx
lim x dx lim 2 x
lim 2(1 ) 2
0
0
x 0
English     Русский Правила