Математические основы анализа свойств систем и наблюдения их состояния (лекция № 17)

1.

Дисциплина
1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЯ
Раздел №2. Основы теории систем
Тема №5. Математические основы анализа свойств систем и наблюдения их состояния
(лекция № 17)
Задача наблюдения состояния ДС
Учебные вопросы:
5.7 Постановка задачи наблюдения состояния ДС.
5.8 Основные принципы построения алгоритмов наблюдения в условиях
детерминированной среды для ЛДДС при линейных измерениях.
5.9 Интегральный алгоритм наблюдения. Концепция динамической
фильтрации.

2.

5.7 Постановка задачи наблюдения состояния ДС
2
5.7.1 Общая математическая постановка проблемы наблюдения состояния
динамической системы
Проблема наблюдения состояния динамической системы является одной из
четырех фундаментальных проблем системных исследований.
Динамическая система в канонической форме задается общим выражением
{T,X,R,P,U,V,Y,N; , },
переходное отображение:
выходное отображение:
x(t ) (t, ,x( ), uT ,vT ),
y(t )= (t,x(t ), v(t )).
при рассмотрении проблемы наблюдения выходное отображение называется
также уравнением измерителя.
Композиция выходного и переходного отображений определяет
терминальное отображение:
y(t ) d (t, ,x( ), uT ,vT ) (t, (t, ,x( ), uT ,vT ), v(t )),
которое определяет некоторый оператор с параметром :
yT k ( ,x( ), uT ,vT ),
k ( , , , ) : X U V N ,

3.

Пусть в конкретном опыте средой реализовано некоторое конкретное
допустимое возмущающее воздействие vT V , в результате чего
зафиксирована соответствующая реакция:
3
y k (tÍ , x(tÍ ), uT ,vT ).
Дано:
– динамическая система Σ ;
– управляющее воздействие uT U ;
– характеристика возмущающей среды (типа α, β, γ или δ);
– множество моментов времени наблюдения T ;
– некоторый момент времени tН T .
Определить:
по заданному фрагменту y N соответствующей реакции системы
определить ее состояние в момент времени tН .
Отсюда следует, что решить проблему наблюдения – значит найти решение
относительно z X следующего операторного уравнения:
(*)
k (tÍ , z,uT ,vT ) y vT V
правая часть которого представляет собой измеренные значения реакции
системы на соответствующем интервале времени. В левой части этого
уравнения – неизвестное возмущающее воздействие, относительно которого
известно только, что оно принадлежит классу допустимых возмущений V и
формируется средой в соответствии с типом среды (α, β, γ , δ,).

4.

Сформулированная проблема может быть проиллюстрирована схемой,
показанной на рис.
4

5.

5
отсутствие возмущений (замкнутая ДС)
Условия наблюдения
(проблема идеального наблюдения)
состояния ДС
наличие возмущений (открытая ДС
стохастическая среда - β
целенаправленная среда - γ
Источник информации свободная реакция ДС
о состоянии
вынужденная реакция ДС
Характер момента
времени оценки (наблюдения)
неизвестная среда - δ
ретроспекция - С0
текущее оценивание - С1
прогноз (экстраполяция) - С2
непрерывные
Алгоритм обработки измерений
дискретные
обработка текущей информации
обработка полной выборки
Структура множества
моментов времени
ДС с непрерывным временем
ДС с дискретным временем
Характер переходного и Линейные ДС
выходного отображений Нелинейные ДС
Измерения
Рис.5.3. Основные
морфологические элементы
проблемы наблюдения
5

6.

5.8. Основные принципы построения алгоритмов наблюдения в условиях
детерминированной среды для ЛДДС при линейных измерениях.
6
1. Общая математическая постановка и качественный анализ проблемы
наблюдения состояния замкнутой динамической системы
Этот вариант проблемы наблюдения уже обсуждался в предыдущей теме, в п.
7.6. Напомним и уточним постановку задачи, считая систему обратимой.
Рассмотрим свободную реакцию замкнутой динамической системы, которая
определяется совокупностью переходного и выходного отображений :
x(t) 0ñâ (t, , x( )),
y(t)= 0 (t, x(t)),
и соответствующего терминального отображения:
y(t) d 0ñâ (t, , x( )) (t, 0ñâ (t, , x( ))).
Обозначим соответствующую динамическую систему через
0ñâ {T,X,Y, N; 0ñâ , 0 }.
Зафиксируем некоторый момент времени t1 T (t 0 ) и рассмотрим отрезок
реакции, отвечающий множеству моментов времени (t 0 , t1 ] T :
y : Y.
6

7.

В соответствии с общей постановкой задачи наблюдений п.5.7
указанным отображениям можно соотнести оператор:
7
y k 0ñâ ( , x( )), k 0ñâ ( , ) : X N ,
действующий из одного гильбертова пространства в другое, и сформулировать
следующую проблему идеального наблюдения.
Пусть в конкретном опыте состоянию системы x(t Í ) , в котором она находилась в момент времени t Í , соответствует реакция
y k 0ñâ (t Í , x(t Í )).
Проблема идеального наблюдения состояния динамической системы
Пусть заданы:
- динамическая система 0ñâ (8.14);
- множество моментов времени наблюдения T;
- некоторый момент времени t Í T.
Требуется: по заданному фрагменту y N соответствующей реакции
системы определить ее состояние в момент времени t Í .
{ 0ñâ , t Í ; y } x(t Í ) ?
7

8.

5.9. Интегральный алгоритм идеального наблюдения состояния
линейной конечномерной дифференциальной динамической системы
8
Рассмотрим задачу идеального наблюдения для замкнутой линейной системы
с конечномерным пространством состояний, уравнения которой имеют следующий вид:
x=A(t)x
y=C(t)x
Здесь A(t) - квадратная n n - матрица, C(t) - прямоугольная m n - матрица ( 1 m<n ). Будем полагать, что элементы этих матриц представляют собой
вещественные функции, определенные и имеющие непрерывные производные
n-1 – порядка на T=R1.
Если в момент времени t Í система находилась в состоянии x(t Í ) , то это однозначно определяет реакцию системы на всей вещественной оси моментов времени:
y(t) C(t) (t, t Í )x(t Í ),
- линейный оператор, действующий из конечномерного гильбертова пространства состояний в гильбертово пространство реакций.
Уточним задачу наблюдения. Предположим, что реакция фиксируется (измеряется) на некотором интервале (t 0 , t] , т.е. измерения производятся непрерывно и требуется найти состояние системы в конце этого интервала, т.е. t Í t.
В этом случае реакция системы может быть представлена в виде:

9.

9
y ( ) C( ) ( , t)x(t), (t 0 , t].
Рассматриваемая задача заключается в нахождении решении уравнения:
C( ) ( , t)z y ( ), (t 0 , t],
относительно z X .
Будем предполагать, что условие полной наблюдаемости в данном случае выполнено (!), тогда решение операторного уравнения существует, единственно и совпадает с искомым истинным состоянием x(t) .
Найдем это решение. С этой целью введем следующую вещественную функцию от z :
t
1
T
p(t,z) y ( ) C( ) ( , t)z Q( ) y ( ) C( ) ( , t)z d , (*)
2 t0
где Q( ) - произвольная положительно-определенная m n - матричная функция
от . При этом подынтегральное выражение является положительно определенной формой от выражения в квадратных скобках и достигает минимального значения при равенстве этого выражения нулю.
В связи с этим рассмотрим гладкую задачу на безусловный минимум:
p(t,z) min
z X
9

10.

Найдем указанный минимум. С этой целью используем известное необходимое
условие экстремума гладкой функции при отсутствии ограничений:
10
gradp(t,z)
p(t,z)
0,
z
где 0 - нулевая вектор-строка. Дифференцируя функцию (8.23) по вектору z ,
запишем условие (8.24) в виде:
p(t,z)
zT P(t) y T ( )Q( )C( ) ( , t)d 0.
z
t0
t
Здесь P(t) - квадратная n n - матрица, определяемая формулой:
t
P(t) T ( , t)CT ( )Q( )C( ) ( , t)d . (**)
t0
Можно показать, что если условие полной наблюдаемости для системы
выполнено, то при любой положительно-определенной матрице Q( )
матрица (**) является неособенной. Отсюда следует, что искомое решение
задачи (минималь) имеет следующий вид:
t
z x(t) P 1 (t) T ( , t)CT ( )Q( )y ( )d .
t0
(***)
10

11.

Эта формула определяет интегральный алгоритм наблюдения, при использовании которого
искомая оценка состояния формируется в резуtÍ t
льтате интегрирования реакции в целом, зафиy
ксированной на интервале (t 0 , t], подвергИнтегральный z x(t)
нутой некоторому специальному матричному
t блок наблюдения
оценка
реакция
{λ}
преобразованию (рис.5.4). Истинность полученсостояния
ного решения легко проверяется непосредственРис.5.4
ной подстановкой в (***).
В результате проведения вычислений по формуле интегрального алгоритма
(***) находится истинное состояние системы в момент времени t Í t, т.е. в
момент окончания измерений. Если необходимо узнать состояние системы в любой другой момент времени, то вследствие обратимости системы это состояние
может быть найдено по формуле:
Априорная информация
о системе
x(t Í ) (t Í , t)x(t),
для любого значения t Í - как в прошлом, при t Í t (ретроспективное наблюдение), так и будущем, при t Í t (прогноз состояния).
Таким образом, задача идеального линейного наблюдения при непрерывном
поступлении измерительной информации и обработки соответствующей отрезка
реакции решена полностью.
11