Матрицы и определители

1.

Матрицы и определители

2.

Свойства линейных операций
над матрицами
А,B,C – матрицы,
α,β – действительные числа
1.A+B=B+A
2. (A+B)+C=А+(B+C)
3. α·(A+B)=α·A+α·B
4. (α+β) ·A= α·A+ β ·A
5. (α · β) ·A= α ·(β·A)= β ·(α · A)
6. A+0=A
7. (-A)=(-1)·A и A+(-A)=O
7*. A-B=A+(-B)

3.

Произведение матриц
Умножением матрицы A (aij ) m n на матрицу B (bij ) p q
определено, когда число столбцов в первой
матрице равно числу строк во второй матрице,
то есть n=p
Произведением матрицы A (aij ) m k на матрицу B (bij ) k n
называется такая матрица С (сij ) m n, каждый элемент
которой сij равен сумме произведений элементов
i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы
j-ого столбца матрицы В

4.

Произведение матриц
A (aij ) m k
B (bij ) k n
А · В=С, где С (сij ) m n и
k
сij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj ais bsj
s 1
i 1, m 1,2,..., m; j 1, n 1,2,..., n

5.

Произведение матриц
А3 3
1 2
2 3 4
1 2 0 ; B3 2 3 4
2 3 1
5 6
А3 3 B3 2 С3 2
31 40
7 10
16 22

6.

Произведение матриц
Переместительный закон умножения
матриц не выполняется
A B B A
1.
A3 2 B2 4 C3 4
B2 4 A3 2 - не определено
2.
A3 2 B2 3 C3 3
B2 3 A3 2 D2 2
В частном случае АВ=ВА.
В этом случае матрицы А и В называются
перестановочными

7.

Свойства операции
умножения матриц
А,B,C – матрицы,
α – действительное число
1. А B B A
2. α·(A·B)=(α·A)·B=A(α·B)
3. (A ·B) ·C= A ·(B ·C)
4. (A+B) ·C=A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. A ·E=E ·A=A

8.

Определитель
Любой квадратной матрице порядка n ставится в
соответствие найденное по определенному закону
некоторое число, называемое определителем n-ого
порядка этой матрицы
An n
a11 a12
a21 a22
... ...
a a
n1 n 2
... a1n
a11 a12
... a2 n
a21 a22
det A A
... ...
... ...
... ann
an1 an 2
... a1n
... a2 n
...
...
... ann

9.

Определитель
A1 1 a11
7 7;
A2 2
a11
a21
a12
a22
2
2
2
6
A a11 a11
3 3;
a11
A
a21
5 5
8 8
a12
a11 a22 a12 a21
a22
3 2 1 3 ( 2) 2 6 8
1
1 2 ( 3) ( 1) 6 6 6 0
3

10.

Определитель
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a11
A3 3 a21
a
31
3
4
8
a13
a23
a33
a13
a23 (a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 )
a33 (a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 )
A
2
A 5
6
a12
a22
a32
7
1 (2 4 9 3 1 6 5 8 7) (7 4 6 3 5 9 1 8 2)
9
72 18 280 168 135 16 51

11.

Минор элемента матрицы
Минором M ij элемента aij матрицы А n-ого порядка
называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка,
полученный из матрицы А вычеркиванием i строки и
j столбца
- минор элемента
aij
матрицы
An n
a21 a23
a11 a12 a13
M 12
a31 a33
A3 3 a21 a22 a23
a11 a13
a a a
M
22
31 32 33
a31 a33

12.

Алгебраическое дополнение элемента
матрицы
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij
матрицы n-ого порядка называется его минор,
взятый со знаком ( 1)i j
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы An n
A3 3
a11 a12
a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
А12 M12
А22 M 22
aij

13.

Определители
Определитель любой квадратной матрицы
n-ого порядка равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их
алгебраическое дополнение
Разложение определителя по строке
n
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 _____
... ain Ain ais Ais
i 1, n
s 1
Разложение определителя по столбцу
n
det A a1 j A1 j a2 j A2 j _____
... anj Anj asj Asj
j 1, n
s 1

14.

Определитель
2
5
6
3
4
8
7
2 1
2 2
1 5 A21 4 A22 1 A23 5( 1) M 21 4( 1) M 22
9
1( 1) 2 3 M 23 5 83
7 42
9
6
4(2 9 7 6) (2 8 3 6) 51
7 1 2
9 6
3 5(3 9 7 8)
8

15.

Свойства определителей
Если некоторая строка (столбец) в
определителе состоит из нулей, то этот
определитель равен нулю

16.

Свойства определителей
Если все элементы какой-либо строки
(столбца) матрицы умножить на число λ, то
ее определитель умножится на это число λ
Если в определителе элементы некоторой
строки или столбца содержат общий множитель
λ, то этот общий множитель можно вынести за
знак определителя

17.

Свойства определителей
При перестановке двух строк (столбцов)
матрицы ее определитель меняет знак
на противоположный

18.

Свойства определителей
Определитель матрицы не изменится если
к элементам какой-либо строки (столбца)
матрицы прибавить элементы другой строки
(столбца), предварительно умноженные на
одно и то же число

19.

Свойства определителей
Если квадратная матрица содержит две
одинаковые строки, то ее определитель
равен нулю
Определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению
их определителей, то есть
det( A В) det A det В

20.

Методы вычисления определителей
Метод понижения порядка
Если в определителе все элементы некоторой
строки (столбца) кроме одного равны нулю,
то определитель равен произведению этого
ненулевого элемента на его алгебраическое
дополнение
Метод приведения определителя к треугольному виду
Если в определителе все элементы, стоящие
по одну сторону от главной диагонали равны
нулю, то такой определитель равен
произведению элементов, стоящих на главной
диагонали

21.

Обратная матрица
Квадратная матрица А называется невырожденной,
если определитель этой матрицы отличен от нуля
1
Матрица A называется обратной для матрицы А,если
1
1
A A A A E
1
1. Матрицы А и A перестановочны, при этом
- квадратная матрица того же порядка, что и А
1
A -
2. Из свойств определителя и правила умножения
матриц det( A A 1 ) det E
1
1
det A det A
1
1
det A
det A