Живые преобразования графиков функций

1.

2.

Преобразование симметрии относительно оси х
f(x) -f(x)
График функции у = -f(x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси х.
Замечание. Точки пересечения графика
с осью х остаются неизменными.

3.

y x
y x2
y x
y 2x
2
y x
y 2 x

4.

Преобразование симметрии относительно оси y
f(x) f(-x)
График функции у = f(-x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси y.
Замечание. Точкa пересечения графика с осью y
остается неизменной.

5.

y x
y x

6.

y x
2
y x2
Замечание 1.
График четной функции не изменяется при отражении
относительно оси у, поскольку для четной функции
f(-x)=f(x). Пример:
(-x)2 = x2.

7.

Замечание 2.
График нечетной функции изменяется одинаково
как при отражении относительно оси х , так и при
отражении относительно оси у, поскольку для
нечетной функции f(-x)=-f(x).
Пример (-x)3=-x3

8.

Параллельный перенос вдоль оси х
f(x) f(x-а)
График функции у = f(x-а) получается параллельным
переносом вдоль оси х на |a| вправо
при а>0 и влево при а <o.

9.

y x2
2
y x 3
y x 2
2
y x
y x 3
y x 2

10.

Параллельный перенос вдоль оси y
f(x) f(x)+b
График функции у = f(x)+b получается
параллельным переносом вдоль
оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b <o.

11.

y x2
y x2 1
y x
y x 1
y x 2
y x2 2

12.

Сжатие и растяжение вдоль оси x
f(x) f(αx), где α >0
α >1 График функции y=f(αx) получается сжатием
графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз.
0< α <1 График функции y=f(αx) получается растяжением
графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз.
y sin x
y sin 2 x

13.

Замечание. Точки пересечения графика
с осью y остаются неизменными.
y 2x
y x
x
y
2

14.

Сжатие и растяжение вдоль оси y
f(x) kf(x), где k>0
k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика
функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
0<k<1 График функции y=kf(x) получается сжатием графика
функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.
1
y cos x
2
y 2 cos x
y cos x

15.

y 3 x
y x
y 0,5 x

16.

y 3x 2
y x2
y 0,5 x 2
Замечание. Точки пересечения графика
с осью x остаются неизменными.
1 2
y x
10

17.

y 3 x
y x
y 0,5 x

18.

Построение графика функции у=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х,
остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично
отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график
расположен в верхней полуплоскости).

19.

y x2 4x 3
y x2 4x 3

20.

Построение графика функции у=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у,
удаляется ,а часть, лежащая правее оси у – остается
без изменения и, кроме того, симметрично отражается
относительно оси у (влево).
Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: Функция y=f(|x|) четная
(ее график симметричен относительно оси у).

21.

y x2 4 x 3
y x2 4x 3

22.

Построение графиков сложных функций
с помощью последовательных преобразований
графиков элементарных функций(на примерах).
2
2
2
Пример 1. y x 6 x 8 x 6 x 8 x 3 1
1) y x 2 6 x 8 x 3 1
2
2) y x 2 6 x 8 x 3 1
2

23.

2) y x
2
6 x 8 x 3
3) y x 2 6 x 8
2
1