Преобразования графиков функций

1. Преобразования графиков функций

Муниципальное
Общеобразовательное Учреждение
«Средняя Общеобразовательная
Школа №236 г.Знаменск»
Учитель математики Потапова Е.А.

2.

f(x) -f(x)
f(x) f(-x)

3. Преобразование симметрии относительно оси х f(x) -f(x)

График функции у = -f(x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси х.
Замечание. Точки пересечения графика
с осью х остаются неизменными.
y sin x
y sin x

4.

y x
y x2
y x
y 2x
2
y x
y 2 x

5. Преобразование симметрии относительно оси y f(x) f(-x)

График функции у = f(-x) получается преобразованием
симметрии графика функции у = f(x) относительно оси y.
Замечание. Точкa пересечения графика с осью y
остается неизменной.
y log 2 ( x)
y log 2 x

6.

y 2 x
y 2x
y x
y x

7. Замечание 1.

y x
2
y x2
Замечание 1.
График четной функции не изменяется при отражении
относительно оси у, поскольку для четной функции
f(-x)=f(x). Пример:
(-x)2 = x2.

8.

Замечание 2.
График нечетной функции изменяется одинаково
как при отражении относительно оси х , так и при
отражении относительно оси у, поскольку для
нечетной функции f(-x)=-f(x).
Пример: sin(-x) =-sinx.
y sin x
y sin x

9.

f(x) f(x-а)
Урок № 2
Параллельный
f(x) f(x) + b
перенос
вдоль
осей х и у.

10. Параллельный перенос вдоль оси х f(x) f(x-а)

График функции у = f(x-а) получается параллельным
переносом вдоль оси х на |a| вправо при а>0 и влево
при а <o.
Замечание: График периодической функции с периодом Т не
изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nT, nϵN.
y sin x
y sin x
3
3

11.

y x2
2
y x 3
y x 2
2
y x
y x 3
y x 2

12. Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b

График функции у = f(x)+b получается параллельным
переносом вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз
при b <o.
y sin x 2
y sin x
y sin x 1

13.

y cos x 2
y cos x

14.

y x2
y x2 1
y x
y x 1
y x 2
y x2 2

15.

f(x) f(αx)
Урок №3
f(x) kf(x)
Сжатие и
растяжение
вдоль
осей x и у

16. Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)f(αx), где α >0

Сжатие и растяжение вдоль оси x
f(x) f(αx), где α >0
α >1 График функции y=f(αx) получается сжатием
графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз.
0< α <1 График функции y=f(αx) получается растяжением
графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз.
y sin x
y sin 2 x

17.

Замечание. Точки пересечения графика
с осью y остаются неизменными.
y 2x
y x
x
y
2

18. Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)kf(x), где k>0

Сжатие и растяжение вдоль оси y
f(x) kf(x), где k>0
k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика
функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
0<k<1 График функции y=kf(x) получается сжатием графика
функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.
1
y cos x
2
y 2 cos x
y cos x

19.

y 2x
y x
y 0,5 x

20.

y 3x 2
y x2
y 0,5 x 2
Замечание. Точки пересечения графика
с осью x остаются неизменными.
1 2
y x
10

21.

y 3 x
y x
y 0,5 x

22.

Урок №4
Построение
графиков
функций
y=f(|x|)
и
y=|f(x)|

23. Построение графика функции у=|f(x)|

Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х,
остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично
отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график
расположен в верхней полуплоскости).
y sin x
y sin x

24.

y x2 4x 3
y x2 4x 3

25.

y log 2 x
y log 2 x

26. Построение графика функции у=f(|x|)

Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у, удаляется ,а
часть, лежащая правее оси у – остается без изменения и, кроме
того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка
графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен
относительно оси у).
y sin x
y sin x

27.

y x2 4 x 3
y x2 4x 3

28.

y log 2 x
y log 2 x

29.

Урок №5
Построение
графика
обратной
функции

30. Построение графика обратной функции

График функции у = g(x) , обратной для данной
функции у = f(x) , можно получить преобразованием
симметрии графика у = f(x) относительно прямой y=х.
Замечание. Описанное построение можно
производить только для функции, имеющей
обратную.
y 2x
Примеры графиков
взаимно обратных
функций:
y log 2 x

31.

y x2 , x 0
y arcsin x
1
y x
1
y sin x,
/ 2 x / 2

32.

y arccos x
1
1
1
1
y cos x,
0 x

33. Построение графиков сложных функций

с помощью последовательных преобразований
графиков элементарных функций(на примерах).
2
2
2
Пример 1. y x 6 x 8 x 6 x 8 x 3 1
1) y x 2 6 x 8 x 3 1
2
2) y x 2 6 x 8 x 3 1
2

34.

2) y x
2
6 x 8 x 3
3) y x 2 6 x 8
2
1

35.

Пример 2. y log 2 x 1
1) y log 2 x
2) y log 2 x

36.

2) y log 2 x
3) y log 2 x 1

37.

3) y log 2 x 1
4) y log 2 x 1

38.

Пример 3. y 3 sin 2 x 1
1) y sin x
2) y sin 2 x

39.

2) y sin 2 x
3) y 3 sin 2 x

40.

3) y 3 sin 2 x
4) y 3 sin 2 x

41.

4) y 3 sin 2 x
5) y 3 sin 2 x 1

42. Пример 4. Построить график функции :

y cos x 1
2
• Сместим график функции y=cosx на вектор ;1
2
y cos x